Metoda axiomatică, pași, exemple

metoda axiomatică sau, de asemenea, numit axiomatic este o procedură formală utilizată de știință care a formulat afirmații sau propoziții numite axiome, conectate printr-un raport de derivability și sunt baza ipotezelor sau condițiile unui anumit sistem.

Această definiție generală trebuie să fie încadrată în evoluția pe care o are această metodologie pe parcursul istoriei. În primul rând, există o metodă sau un conținut vechi, născut în Grecia antică de la Euclid și dezvoltat mai târziu de Aristotel.

În al doilea rând, deja în secolul al XIX-lea, apariția unei geometrii cu axiome diferite de cele ale lui Euclid. Și în final, metoda axiomatică formală sau modernă, a cărei exponent maxim a fost David Hilbert.

Dincolo de evoluția sa în timp, această procedură a constituit baza metodei deductive utilizate în geometria și logica de unde a provenit. A fost de asemenea folosit în fizică, chimie și biologie.

Și sa aplicat chiar și în știința juridică, în sociologie și în economia politică. Cu toate acestea, în prezent, cea mai importantă sferă de aplicare a acesteia este logica matematică și simbolică și câteva ramuri ale fizicii cum ar fi termodinamica, mecanica, printre alte discipline.

index

• 1 Caracteristici
  • 1.1 Metoda sau conținutul axiomatic vechi
  • 1.2 Metoda axiomatică non-euclidiană
  • 1.3 Metodă axiomatică modernă sau formală
• 2 pași
• 3 Exemple
• 4 Referințe

caracteristici 

Deși caracteristica fundamentală a acestei metode este formularea axiomelor, acestea nu au fost întotdeauna luate în considerare în același mod.

Există unele care pot fi definite și construite într-un mod arbitrar. Și alții, conform unui model în care este luat în considerare adevărul său garantat intuitiv.

Pentru a înțelege în mod clar ce înseamnă această diferență și consecințele ei, este necesar să examinăm evoluția acestei metode.

Metoda sau conținutul axiomatic vechi

Este cea stabilită în Grecia Antică în jurul secolului al V-lea î.Hr. Sfera sa de aplicare este geometria. Lucrarea fundamentală a acestei etape este Elementele Euclidului, deși se consideră că în fața lui, Pitagora, a dat deja naștere la metoda axiomatică.

Deci, grecii iau anumite fapte ca axiome, fără a este nevoie de nici o dovadă logică, adică, fără dovezi, deoarece pentru ei sunt un adevăr evident în sine.

La rândul său, Euclides prezintă cinci axiome pentru geometrie:

1 - Având două puncte, există o linie care le conține sau le unește.

2 - Orice segment poate fi continuat continuu pe o linie nelimitată pe ambele părți.

3 - Puteți desena un cerc care are un centru în orice punct și în orice rază.

Unghiurile 4-drepte sunt la fel.

5 - Luând orice linie dreaptă și orice punct care nu este în ea, există o linie dreaptă paralelă cu aceasta și care conține acel punct. Această axiomă este cunoscută, atunci, așa cum axioma paralel și a fost declarat ca: printr-un punct exterior unei linii poate fi trasă o singură paralelă.

Cu toate acestea, atât Euclid și matematicieni mai târziu sunt de acord ca a cincea axioma nu este la fel de intuitiv clar ca celelalte 4. Chiar în timpul Renașterii încearcă să deducă a cincea din celelalte 4, dar nu este posibil.

Acest lucru a făcut în secolul al XIX-lea, care a menținut cei cinci erau susținători ai geometriei euclidiene și a celor care au negat al cincilea, cel care a creat geometriile neeuclidiene.

Metoda axiomatică non-euclidiană

Tocmai Nikolai Ivanovici Lobachevsky, János Bolyai și Johann Karl Friedrich Gauss, care văd posibilitatea de a clădirii, fără contradicție, o geometrie care vine din alte surse decât cele axiome ale sistemelor Euclid. Acest lucru distruge credința în adevărul absolut sau a priori al axiomelor și teoriilor care derivă din ele.

Prin urmare, axiomele încep să fie concepute ca puncte de plecare ale unei teorii date. De asemenea, atât alegerea, cât și problema valabilității lor într-un fel sau altul încep să fie legate de fapte în afara teoriei axiomatice.

În acest fel apar teoriile geometrice, algebrice și aritmetice construite prin metoda axiomatică.

Această etapă culminează cu crearea de sisteme axiomatice pentru aritmetică, cum ar fi cea a lui Giuseppe Peano în 1891; geometria lui David Hubert în 1899; declarațiile și calculele predicate ale lui Alfred North Whitehead și Bertrand Russell, în Anglia, în 1910; teoria axiomatică a seturilor lui Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo în 1908.

Metodă axiomatică modernă sau formală

Este David Hubert care inițiază concepția unei metode axiomatice formale și care duce la culminarea sa, David Hilbert.

Este tocmai Hilbert care formalizează limbajul științific, considerând declarațiile sale ca formule sau secvențe de semne care nu au nici un sens în sine. Ele doar dobândesc înțeles într-o anumită interpretare.

În "Elementele de bază ale geometriei"Explică primul exemplu al acestei metodologii.De aici, geometria devine o știință a consecințelor logice pure, care sunt extrase dintr-un sistem de ipoteze sau axiome, mai bine articulat decât sistemul euclidian.

Acest lucru se datorează faptului că în vechiul sistem teoria axiomatică se bazează pe evidența axiomelor. În timp ce fundamentul teoriei formale este dat de demonstrarea necontradicției axiomelor sale.

pași 

Procedura care realizează o structurare axiomatică în cadrul teoriilor științifice recunoaște:

a - alegerea unui anumit număr de axiome, adică o serie de propoziții ale unei anumite teorii care sunt acceptate fără a fi nevoie să fie demonstrate.

b - conceptele care fac parte din aceste propoziții nu sunt determinate în cadrul teoriei date.

c - regulile de definire și deducere ale teoriei date sunt fixate și permit să se introducă noi concepte în cadrul teoriei și să se deducă logic unele propoziții din partea altora.

d - celelalte propoziții ale teoriei, adică teorema, sunt deduse dintr-o pe baza c.

Exemple

Această metodă poate fi verificată prin demonstrarea celor două bine cunoscute teorii Euclid: teorema piciorului și teorema înălțimii.

Ambele apar din observația acestui geometric grec, că atunci când înălțimea este reprezentată în raport cu ipoteza din triunghiul drept, două triunghiuri apar mai mult decât originalul. Aceste triunghiuri sunt similare unul cu celălalt și, în același timp, similare cu triunghiul de origine. Aceasta presupune că părțile lor omoloage respective sunt proporționale.

Se poate observa că unghiurile congruente din triunghiuri verifică în acest fel similitudinea care există între cele trei triunghiuri implicate conform criteriului de similaritate AAA. Acest criteriu susține că atunci când două triunghiuri au toate unghiurile lor egale, ele sunt similare.

Odată ce se arată că triunghiurile sunt similare, proporțiile specificate în prima teorema pot fi stabilite. Acesta afirmă că într-un triunghi drept, măsura fiecărui picior este o medie geometrică proporțională între hypotenuse și proiecția de cathet în ea.

A doua teoremă este cea a înălțimii. Specifică faptul că orice triunghi drept, înălțimea care este trasată în funcție de hypotenuse, este o medie geometrică proporțională între segmentele care sunt determinate de această medie geometrică pe hypotenuse.

Desigur, ambele teoreme au numeroase aplicații în întreaga lume nu numai în domeniul educației, dar și în inginerie, fizică, chimie și astronomie.

referințe

1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalismul și intuiția: David Hilbert și metoda axiomatică formală (1895-1905). Revista de filosofie, Vol. 39 Núm. 2, pp. 121-146. Luat de la revistas.ucm.es.
2. Hilbert, David. (1918) Gândul axiomatic. În W. Ewald, editor, de la Kant la Hilbert: o carte sursă în fundația matematicii. Volumul II, pp. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
3. Hintikka, Jaako. (2009). Care este metoda axiomatică? Synthese, noiembrie 2011, volumul 189, pp.69-85. Luat de la link.springer.com.
4. López Hernández, José. (2005). Introducere în filosofia dreptului contemporan. (Pp.48-49). Luat de la books.google.com.ar.
5. Nirenberg, Ricardo. (1996) Metoda axiomatică, citită de Ricardo Nirenberg, Toamna 1996, Universitatea din Albany, Project Renaissance. Luat de la Albany.edu.
6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert între partea formală și cea informală a matematicii. Manuscript vol. 38 nr. 2, Campinas iulie / august 2015. Luate de la scielo.br.