Isosceles triunghi caracteristici, formula și zona, de calcul

o triunghi triunghiular Este un poligon cu trei laturi, în cazul în care două dintre ele au aceeași măsură, iar cea de-a treia o măsurătoare diferită. Această ultimă latură se numește bază. Datorită acestei caracteristici a fost dat acest nume, care în greacă înseamnă "picioare egale"

Triunghiurile sunt poligoane considerate a fi cele mai simple în geometrie, deoarece ele sunt formate din trei laturi, trei unghiuri și trei vârfuri. Acestea sunt cele care au cel mai mic număr de laturi și unghiuri față de celelalte poligoane, cu toate acestea utilizarea sa este foarte extinsă.

index

• 1 Caracteristicile triunghiurilor isoscel
  • 1.1 Componente
• 2 Proprietăți
  • 2.1 Unghiuri interne
  • 2.2 Suma laturilor
  • 2.3 laturi congruente
  • Unghiuri congruente
  • 2.5 Înălțimea, mediana, bisectorul și bisectorul coincid
  • 2.6 Înălțimi relative
  • 2.7 Orthocenter, barycenter, incenter și circumcenter coincid
• 3 Cum se calculează perimetrul?
• 4 Cum se calculează înălțimea?
• 5 Cum se calculează zona?
• 6 Cum se calculează baza triunghiului?
• 7 Exerciții
  • 7.1 Primul exercițiu
  • 7.2 Al doilea exercițiu
  • 7.3 Al treilea exercițiu
• 8 Referințe

Caracteristicile triunghiurilor isoscel

Triunghiul isoscel a fost clasificat folosind ca parametru cel mai bun dintre laturile sale, pentru că cele două părți sunt congruente (au aceeași lungime).

În funcție de amplitudinea unghiurilor interne, triunghiurile isoscel sunt clasificate ca:

• Dreptunghiular triunghi isoscel: două laturi sunt egale. Unul dintre unghiurile sale este drept (90^sau) iar celelalte sunt aceleași (45^sau fiecare dintre acestea)
• Isoscele triunghi unghi obtuz: două laturi sunt egale. Unul dintre unghiurile sale este obtuz (> 90^sau).
• Isosceles triunghi angular acut: două laturi sunt egale. Toate unghiurile sunt ascuțite (<90^sau), în cazul în care două au aceeași măsură.

componente

• Medianul: este o linie care iese din mijlocul unei părți și ajunge la vârful opus. Cei trei medii concurează într-un punct numit centrocenter sau centru centroid.
• Bisectorul: este o rază care împarte unghiul fiecărui vârf în două unghiuri de dimensiune egală. Acesta este motivul pentru care este cunoscut ca axa simetriei și acest tip de triunghiuri are doar unul.
• Mediatrice: este un segment perpendicular pe latura triunghiului, care provine din mijlocul acestuia. Există trei mediatice într-un triunghi și se concurează într-un punct numit circumcenter.
• Înălțimea: este linia care merge de la vârf la partea care este opusă și, de asemenea, această linie este perpendiculară pe acea parte. Toate triunghiurile au trei înălțimi, care coincid într-un punct numit orthocenter.

proprietăţi

Triunghiurile isosceles sunt definite sau identificate deoarece au mai multe proprietăți care le reprezintă, provenite din teoremele propuse de marii matematicieni:

Unghiuri interne

Suma unghiurilor interne este întotdeauna egală cu 180^sau.

Suma laturilor

Suma măsurilor a două laturi trebuie să fie întotdeauna mai mare decât măsura celei de-a treia părți, a + b> c.

Fețe congruente

Triunghiurile triunghiulare au două laturi cu aceeași măsură sau lungime; adică ele sunt congruente, iar a treia parte este diferită de acestea.

Unghiuri congruente

triunghiuri isoscel sunt cunoscute ca triunghiuri isoángulos, de asemenea, pentru că ei au două unghiuri au aceeași dimensiune (consistentă). Acestea sunt situate la baza triunghiului, vizavi de laturile care au aceeași lungime.

Din acest motiv, teorema care stabilește că:

"Dacă un triunghi are două laturi congruente, unghiurile opuse acelor laturi vor fi, de asemenea, congruente". Deci, dacă un triunghi este isoscele, unghiurile bazelor sale sunt congruente.

exemplu:

Figura următoare prezintă un triunghi ABC. Trăgând bisectoarea din unghiul la vârf spre bază B, triunghiul este împărțit în două triunghiuri egale BDA și BDC:

Astfel, unghiul vârfului B a fost de asemenea împărțit în două unghiuri egale. Bisectorul este acum partea (BD) comună între cele două noi triunghiuri, în timp ce laturile AB și BC sunt laturile congruente. Acesta este cazul laturii de congruență, unghiului, laturii (LAL).

Aceasta arată că unghiurile apexurilor A și C au aceeași măsură ca și poate fi demonstrată ca BDA și BDC triunghiuri sunt congruente, părțile AD și DC sunt, de asemenea.

Înălțimea, medianul, bisectorul și bisectorul coincid

Linia este trasată de la vârful opus bazei de la punctul de mijloc al bazei triunghiului isoscel, este atât înălțimea, mediană și mediatoare, precum și bisectoarea pe colțul opus al bazei.

Toate aceste segmente coincid într-o singură care le reprezintă.

exemplu:

Figura următoare prezintă triunghiul ABC cu un punct central M care împarte baza în două segmente BM și CM.

Pentru a desena un segment de la punctul M la vârful opus, de mediu AM definiție, care este în raport cu vertexul A și se obține BC lateral.

Deoarece segmentul împarte triunghiul ABC AM în două triunghiuri egale AMB și AMC, aceasta înseamnă că cazul lateral unghi lateral congruență și de aceea va fi, de asemenea, bisector AM BAC.

De aceea bisectorul va fi întotdeauna egal cu media și invers.

Segmentul AM formează unghiuri care au aceeași măsură pentru triunghiurile AMB și AMC; adică sunt suplimentare în așa fel încât măsura fiecăruia să fie:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180^sau

2 _* Med. (AMC) = 180^sau

Med. (AMC) = 180^sau ÷ 2

Med. (AMC) = 90^sau

Puteți ști că unghiurile formate de segmentul AM la baza triunghiului sunt drepte, indicând faptul că segmentul este total perpendicular pe bază.

Prin urmare, reprezintă înălțimea și bisectorul, știind că M este punctul central.

Prin urmare, linia AM:

• Acesta reprezintă înălțimea BC.
• Este mediu.
• Acesta este conținut în mediatrix BC.
• Acesta este bisectorul unghiului vertexului Â

Înălțimi relative

Înălțimile care sunt relativ la laturile egale au aceeași măsură.

Deoarece triunghiul isoscel are două laturi egale, cele două înălțimi respective vor fi egale.

Orthocenter, barycenter, incenter și circumcenter coincid

Ca înălțime, bisectoare mediană de secționare și pe bază, sunt reprezentate atât de un singur segment, orthocenter și incentro centroidul circumscris fi puncte coliniare, adică ei au fost în aceeași linie:

Cum se calculează perimetrul?

Perimetrul unui poligon este calculat de suma laturilor.

Ca și în acest caz triunghiul isoscel are două laturi cu aceeași măsură, perimetrul său se calculează cu următoarea formulă:

P = 2_*(partea a) + (partea b).

Cum se calculează înălțimea?

Înălțimea este linia perpendiculară pe bază, împarte triunghiul în două părți egale prin extinderea spre vârful opus.

Înălțimea reprezintă piciorul opus (a), jumătate din baza (b / 2) piciorului adiacent, iar partea "a" reprezintă hypotenuse.

Cu ajutorul teoremei Pythagorean puteți determina valoarea înălțimii:

la² + b² = c²

în cazul în care:

la² = înălțimea (h).

b² = b / 2.

c² = partea a.

Înlocuirea acestor valori în teorema lui Pitagora și înlăturarea înălțimii pe care o avem:

h² + (b / 2)² = la²

h² + b² / 4 = la²

h² = la² - b² / 4

h = √ (la² - b² / 4).

Dacă este cunoscut unghiul format de laturile congruente, înălțimea poate fi calculată cu următoarea formulă:

Cum se calculează zona?

Suprafața triunghiurilor este întotdeauna calculată cu aceeași formulă, înmulțind baza cu înălțimea și împărțind pe două:

Există cazuri în care sunt cunoscute numai măsurile de două laturi ale triunghiului și unghiul format între ele. În acest caz, pentru a determina zona este necesar să se aplice rapoartele trigonometrice:

Cum se calculează baza triunghiului?

Deoarece triunghiul isoscel are două laturi egale, pentru a determina valoarea bazei dumneavoastră trebuie să știți cel puțin măsurarea înălțimii sau unul dintre unghiurile sale.

Cunoscând înălțimea teoremei pitagoreene:

la² + b² = c²

în cazul în care:

la² = înălțimea (h).

c² = partea a.

b² = b / 2, este necunoscut.

Am eliminat b² a formulei și trebuie să:

b² = a² - c²

b = √ a² - c²

Deoarece această valoare corespunde unei jumătăți din baza, ea trebuie să fie înmulțită cu două pentru a obține măsura completă a bazei triunghiului isoscel:

b = 2 _* (√ a² - c²)

În cazul în care sunt cunoscute numai valorile laturilor sale egale și unghiul dintre ele, este aplicată trigonometria, trasând o linie de la vârf la baza care împarte triunghiul izoscel în două triunghiuri drepte.

În acest fel, jumătate din bază se calculează cu:

De asemenea, este posibil ca doar valoarea înălțimii și unghiului vârfului care este opusă bazei să fie cunoscute. În acest caz, prin trigonometrie, baza poate fi determinată:

pregătire

Primul exercițiu

Găsiți zona triunghiului isoscel ABC, știind că două dintre laturile sale măsoară 10 cm, iar a treia parte măsoară 12 cm.

soluție

Pentru a găsi aria triunghiului este necesar să se calculeze înălțimea utilizând formula pentru zona care se referă la teorema lui Pitagora, deoarece valoarea unghiului format nu este cunoscută între laturile egale.

Avem următoarele date ale triunghiului isoscel:

• Fețe egale (a) = 10 cm.
• Baza (b) = 12 cm.

Valorile din formula sunt înlocuite:

Al doilea exercițiu

Lungimea celor două laturi egale ale unui triunghi isoscel are o înălțime de 42 cm, unirea acestor laturi formând un unghi de 130^sau. Determinați valoarea celei de-a treia părți, a acelui triunghi și a perimetrului.

soluție

În acest caz sunt cunoscute măsurătorile laturilor și unghiul dintre ele.

Pentru a cunoaște valoarea laturii lipsă, adică a bazei acelui triunghi, tragem o linie perpendiculară pe ea, împărțind unghiul în două părți egale, câte unul pentru fiecare triunghi drept care se formează.

• Fețe egale (a) = 42 cm.
• Unghi (Ń) = 130^sau

Acum prin trigonometrie se calculează valoarea jumătății de bază, care corespunde jumătății de hypotenuse:

Pentru a calcula aria este necesară cunoașterea înălțimii acelui triunghi care poate fi calculată prin trigonometrie sau prin teorema lui Pitagora, acum că valoarea bazei a fost deja determinată.

Prin trigonometrie va fi:

Perimetrul se calculează:

P = 2_*(partea a) + (partea b).

P = 2_* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Al treilea exercițiu

Calculați unghiurile interne ale triunghiului isoscel, știind că unghiul bazei este  = 55^sau

soluție

Pentru a găsi cele două unghiuri lipsă (Ê și Ô) este necesar să ne amintim două proprietăți ale triunghiurilor:

• Suma unghiurilor interne ale fiecărui triunghi va fi întotdeauna = 180^sau:

 + Ê + Ô = 180 ^sau

• Într-un triunghi isoscel, unghiurile bazei sunt întotdeauna congruente, adică au aceeași măsură, deci:

 = Ô

Ê = 55^sau

Pentru a determina valoarea unghiului Ê, înlocuiți valorile celorlalte unghiuri din prima regulă și ștergeți Ê:

55^sau + 55^sau + Ô= 180 ^sau

110 ^sau + Ô = 180 ^sau

Ô = 180 ^sau - 110 ^sau

Ô = 70 ^sau.

referințe

1. Álvarez, E. (2003). Elemente de geometrie: cu numeroase exerciții și geometrie a busolei. Universitatea din Medellin.
2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Desen tehnic: notebook de activitate.
3. Angel, A. R. (2007). Algebra elementară Pearson Education.
4. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Cultură.
6. José Jiménez, L. J. (2006). Matematică 2.
7. Tuma, J. (1998). Manual de Matematică în Inginerie. Wolfram MathWorld.