Trinomial al Formei x ^ 2 + bx + c (cu Exemple)

Înainte de a învăța să rezolvi problema trinomial al formei x ^ 2 + bx + c, și chiar înainte de a cunoaște conceptul de trinomial, este important să cunoaștem două noțiuni esențiale; și anume, conceptele de monomială și polinomiale. Un monomial este o expresie a tipului a * xⁿ, unde a este un număr rațional, n este un număr natural și x este o variabilă.

Un polinom este o combinație liniară de monomiale cu forma a_n* xⁿ+ a_n-1* x^n-1+ ... + a₂* x²+ a₁* x + a₀, unde fiecare_eu, cu i = 0, ..., n, este un număr rațional, n este un număr natural și a_n este nenul. În acest caz se spune că gradul de polinom este n.

Un polinom format de suma a numai doi termeni (două monomiale) de grade diferite este cunoscut ca un binom.

index

• 1 Trinomiali
  • 1.1 Trinomial patrat perfect
• 2 Caracteristicile trinomilor de gradul 2
  • 2.1 Pătrat perfect
  • 2.2 Formula de solvent
  • 2.3 Interpretarea geometrică
  • 2.4 Factoringul trinomialilor
• 3 Exemple
  • 3.1 Exemplul 1
  • 3.2 Exemplul 2
• 4 Referințe

trinomials

Un polinom format de suma a numai trei termeni (trei monomiale) de grade diferite este cunoscut ca un trinomial. Următoarele sunt exemple de trinomi:

• x³+ x²+ 5x
• 2x⁴-X³+5
• x²+ 6x + 3

Există mai multe tipuri de trinomială. Dintre acestea se evidențiază trinomul pătrat perfect.

Perfect trinomial patrat

Un trinomial patrat perfect este rezultatul ridicării unui pătrat binomial. De exemplu:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+ y)²= 4x⁶+ 4x³y + y²
• (4x²2y⁴)²= 16x⁴-16x²și⁴+ 4y⁸
• 1 / 16x²și⁸-1 / 2xi⁴z + z²= (1 / 4xi⁴)²-2 (1 / 4xi⁴) z + z²= (1 / 4xi⁴-Z)²

Caracteristicile trinomilor de gradul 2

Pătrat perfect

În general, un trinomial al axei formularului²+ bx + c este un pătrat perfect dacă discriminantul său este egal cu zero; adică dacă b²-4ac = 0, deoarece în acest caz va avea doar o rădăcină și poate fi exprimată în forma a (x-d)²= (√a (x-d))², unde d este rădăcina deja menționată.

O rădăcină a unui polinom este un număr în care polinomul devine zero; cu alte cuvinte, un număr care, înlocuind-o în x în expresia polinomului, are ca rezultat zero.

Formula solventului

O formulă generală pentru calcularea rădăcinilor unui polinom al celui de-al doilea grad al tocului de formă²+ bx + c este formula rezolvatorului, care afirmă că aceste rădăcini sunt date de (-b ± √ (b²-4ac)) / 2a, unde b²-4ac este cunoscut ca discriminant și este de obicei indicat de Δ. Din această formulă rezultă că toporul²+ bx + c are:

- Două rădăcini reale diferite dacă Δ> 0.

- O singură rădăcină reală dacă Δ = 0.

- Nu are o rădăcină reală dacă Δ <0.

În cele ce urmează, vor fi luate în considerare numai trinomialurile formei x²+ bx + c, unde în mod clar c trebuie să fie un număr diferit de zero (altfel ar fi un binomial). Acest tip de trinomiali au anumite avantaje atunci când factoring și operarea cu ele.

Interpretare geometrică

Din punct de vedere geometric, trinomul x²+ bx + c este o parabolă care se deschide în sus și are vârful la punctul (-b / 2, -b²/ 4 + c) din planul cartezian pentru că x²+ bx + c = (x + b / 2)²-b²/ 4 + c.

Această parabolă taie axa Y în punctul (0, c) și axa X în punctele (d₁, 0) și (d)₂, 0); apoi, d₁ și d₂ ele sunt rădăcinile trinomului. Se poate întâmpla ca trinomul să aibă o singură rădăcină d, caz în care singura tăietură cu axa X ar fi (d, 0).

S-ar putea întâmpla ca trinomialul să nu aibă rădăcini reale, caz în care nu va tăia axa X în niciun punct.

De exemplu, x²+ 6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² este parabola cu vârf în (-3,0), care taie axa Y în (0,9) și axa X în (-3,0).

Factorizarea trinomială

Un instrument foarte util atunci când lucrăm cu polinoame este factoringul, care este de a exprima un polinom ca produs al factorilor. În general, având în vedere un trinomial al formei x²+ bx + c, dacă aceasta are două rădăcini diferite d₁ și d₂, poate fi factorizat ca (x-d)₁) (x-d)₂).

Dacă ai o singură rădăcină d, poți să o faci ca (x-d) (x-d) = (x-d)², iar dacă nu are rădăcini reale, este lăsată la fel; în acest caz, nu susține factoringul ca produs al altor factori decât el însuși.

Aceasta înseamnă că, cunoscând rădăcinile unui trinomial al formei deja stabilite, factorizarea sa poate fi ușor exprimată și, așa cum am menționat deja, aceste rădăcini pot fi întotdeauna determinate folosind rezolvatorul.

Cu toate acestea, există o cantitate semnificativă de acest tip de trinomii care pot fi luate în considerare fără a fi nevoie să cunoașteți rădăcinile lor în prealabil, ceea ce simplifică lucrarea.

Rădăcinile pot fi determinate direct de factorizare fără a fi nevoie să se folosească formula rezolvatorului; acestea sunt polinomii formei x² + (a + b) x + ab. În acest caz avem:

x²+ (a + b) x + ab = x²+ ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

De aici este ușor de observat că rădăcinile sunt - a și -b.

Cu alte cuvinte, având în vedere un trinomial x²+ bx + c, dacă există două numere u și v astfel încât c = uv și b = u + v, apoi x²+ bx + c = (x + u) (x + v).

Asta este, dat un x trinomial²+ bx + c, verificați mai întâi dacă există două numere astfel încât să se înmulțească termenul independent (c) și să se adauge (sau să se scadă, în funcție de caz), da termenul care însoțește x (b).

Nu cu toate trinomialurile în acest mod această metodă poate fi aplicată; unde nu poți, te duci la rezolvitor și aplici cele menționate mai sus.

Exemple

Exemplul 1

Pentru a factoriza următoarea trinomă x²+ 3x + 2 procedăm după cum urmează:

Trebuie să găsiți două numere astfel încât atunci când le adăugați, rezultatul este 3, iar când le multiplicați, rezultatul este 2.

După efectuarea unei inspecții se poate concluziona că numerele solicitate sunt: ​​2 și 1. Prin urmare, x²+ 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Exemplul 2

Pentru a factor x x trinomial²-5x + 6 caută două numere a căror sumă este -5 și produsul său este 6. Numerele care îndeplinesc aceste două condiții sunt -3 și -2. Prin urmare, factorizarea trinomialului dat este x²-5x + 6 = (x-3) (x-2).

referințe

1. Surse, A. (2016). MATEMATICĂ DE BAZĂ. O introducere în calcul Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematica: ecuatii patrate: Cum rezolva o ecuatie patratica. Marilù Garo.
3. Haeussler, E. F., & Paul, R. S. (2003). Matematică pentru administrație și economie. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofriguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematică 1 SEP. Prag.
5. Preciado, C.T. (2005). Cursul matematic 3. Progresul editorial.
6. Rock, N. M. (2006). Algebra este usoara! Atât de ușor Echipa Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra și trigonometria Pearson Education.