Scalare caracteristici triunghi, formule și zone, de calcul



o triunghi triunghiular este un poligon tri-lateral, unde fiecare are măsurători sau lungimi diferite; pentru acest motiv i se dă numele scalene, care în latină înseamnă alpinism.

Triunghiurile sunt poligoane considerate cele mai simple în geometrie, deoarece ele sunt formate din trei laturi, trei unghiuri și trei vârfuri. În cazul triunghiului scalar, pentru că are toate laturile diferite, aceasta implică faptul că și cele trei unghiuri vor fi prea.

index

  • 1 Caracteristicile triunghiurilor scalene
    • 1.1 Componente
  • 2 Proprietăți
    • 2.1 Unghiuri interne
    • 2.2 Suma laturilor
    • 2.3 laturi inconsistente
    • 2.4 unghiuri incongruente
    • 2.5 Înălțimea, medianul, bisectorul și bisectorul nu coincid
    • 2.6 Orthocenter, barycenter, incenter și circumcenter nu coincid
    • 2.7 Înălțimi relative
  • 3 Cum se calculează perimetrul?
  • 4 Cum se calculează zona?
  • 5 Cum se calculează înălțimea?
  • 6 Cum se calculează laturile?
  • 7 Exerciții
    • 7.1 Primul exercițiu
    • 7.2 Al doilea exercițiu
    • 7.3 Al treilea exercițiu
  • 8 Referințe

Caracteristicile triunghiurilor scalene

triunghiuri scalen sunt poligoane simple, deoarece nici unul dintre laturile sale sau a unghiurilor are aceeași măsură, spre deosebire de triunghiuri isoscele și echilateral.

Deoarece toate laturile și unghiurile au măsurători diferite, aceste triunghiuri sunt considerate poligoane convexe neregulate.

În funcție de amplitudinea unghiurilor interne, triunghiurile scale sunt clasificate ca:

  • Scalare triunghi dreptunghi: toate laturile sale sunt diferite. Unul dintre unghiurile sale este drept (90sau), iar celelalte sunt ascuțite și cu măsuri diferite.
  • Scalare triunghi unghi obtuz: toate laturile sale sunt diferite și unul dintre unghiurile sale este obtuz (> 90sau).
  • Scalare triunghi unghiular acut: toate laturile sale sunt diferite. Toate unghiurile sunt ascuțite (<90sau), cu diferite măsuri.

O altă caracteristică a triunghiuri scalene este că, din cauza incoerență dintre laturile și unghiurile lor, nu are nici o axa de simetrie.

componente

Medianul: este o linie care iese din mijlocul unei părți și ajunge la vârful opus. Cei trei medii concurează într-un punct numit centrocenter sau centru centroid.

Bisectorul: este o rază care împarte fiecare unghi în două unghiuri de dimensiune egală. Bisectorii unui triunghi concurează într-un punct numit incentro.

Mediatrice: este un segment perpendicular pe latura triunghiului, care provine din mijlocul acestuia. Există trei mediatrice într-un triunghi și concurează într-un punct numit circumcenter.

Înălțimea: este linia care merge de la vârf la partea care este opusă și, de asemenea, această linie este perpendiculară pe acea parte. Toate triunghiurile au trei înălțimi care coincid într-un punct numit orthocenter.

proprietăţi

triunghiuri scalen sunt definite sau identificate, deoarece acestea au mai multe proprietăți care reprezintă originea teoreme propuse de mari matematicieni. Acestea sunt:

Unghiuri interne

Suma unghiurilor interne este întotdeauna egală cu 180sau.

Suma laturilor

Suma măsurilor a două laturi trebuie să fie întotdeauna mai mare decât măsura celei de-a treia părți, a + b> c.

Laturi inconsistente

Toate laturile triunghiurilor scala au diferite masuri sau lungimi; adică sunt incongruente.

Unghiuri inconsistente

Deoarece toate laturile triunghiului scalene sunt diferite, unghiul lor va fi diferit. Cu toate acestea, suma unghiurilor va fi egal întotdeauna 180, iar în unele cazuri, unul dintre unghiurile sale pot fi obtuz sau drept, în timp ce în altele toate unghiurile sunt acute.

Înălțimea, medianul, bisectorul și bisectorul nu coincid

Ca orice triunghi, scalen are mai multe segmente de linie care o compun, așa cum sunt: ​​înaltă, medie și mediatriz bisectoare.

Datorită particularității laturilor sale, în acest tip de triunghi niciuna dintre aceste linii nu va coincide într-una singură.

Orthocenter, barycenter, incenter și circumcenter nu coincid

Ca înălțime, bisectoare mediană de secționare și acestea sunt reprezentate de diferite segmente de linie într-un puncte-Reuniunea a scalen triunghi orthocenter, și centroida incentro circuncentro- va fi amplasat la diferite puncte (nu se potrivesc).

În funcție de faptul dacă triunghiul este acut, dreptunghi sau scalene, ortocentrul are locuri diferite:

a. Dacă triunghiul este acut, ortocentrul va fi în interiorul triunghiului.

b. Dacă triunghiul este un dreptunghi, ortocentrul va coincide cu vârful laturii drepte.

c. Dacă triunghiul este obtuz, ortocentrul va fi în afara triunghiului.

Înălțimi relative

Înălțimile sunt relativ la laturi.

În cazul triunghiului scalene aceste înălțimi vor avea diferite măsurători. Fiecare triunghi are trei înălțimi relative și pentru a le calcula se folosește formula Heronului.

Cum se calculează perimetrul?

Perimetrul unui poligon este calculat de suma laturilor.

Ca și în acest caz, triunghiul scalene are toate laturile cu o măsură diferită, perimetrul său va fi:

P = partea a + partea b + partea c.

Cum se calculează zona?

Suprafața triunghiurilor este întotdeauna calculată cu aceeași formulă, înmulțind baza cu înălțimea și împărțind pe două:

Zona = (baza * h) ÷ 2

În unele cazuri, înălțimea triunghiului scalar nu este cunoscută, dar există o formulă propusă de matematicianul Heron, pentru a calcula suprafața care cunoaște măsurarea celor trei laturi ale unui triunghi.

în cazul în care:

  • a, b și c reprezintă părțile laterale ale triunghiului.
  • sp, corespunde semiperimetrului triunghiului, adică jumătate din perimetru:

sp = (a + b + c) ÷ 2

În cazul în care aveți numai măsurarea a două laturi ale triunghiului și unghiul care se formează între ele, zona poate fi calculată prin aplicarea raporturilor trigonometrice. Deci trebuie să:

Zona = (partea * h) ÷ 2

În cazul în care înălțimea (h) este produsul unei părți de sinus al unghiului opus. De exemplu, pentru fiecare parte, zona va fi:

  • Zona = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Zona = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Zona = (a * b * sen C) ÷ 2

Cum se calculează înălțimea?

Deoarece toate laturile triunghiului scalene sunt diferite, nu este posibil să se calculeze înălțimea cu teorema pitagoreană.

Din formula Heron, care se bazează pe măsurătorile celor trei laturi ale unui triunghi, zona poate fi calculată.

Înălțimea poate fi curățată de formula generală a zonei:

Partea este înlocuită cu măsurarea laturii a, b sau c.

O altă modalitate de a calcula înălțimea când se cunoaște valoarea unuia dintre unghiuri este aplicarea rapoartelor trigonometrice, unde înălțimea va reprezenta un picior al triunghiului.

De exemplu, când unghiul opus față de înălțime este cunoscut, va fi determinat de sine:

Cum se calculează laturile?

Când aveți măsura de două laturi și unghiul opus acestora, este posibil să determinați a treia parte prin aplicarea teoriei cosinelor.

De exemplu, într-un triunghi AB, înălțimea relativă a segmentului AC este reprezentată grafic. În acest fel triunghiul este împărțit în două triunghiuri drepte.

Pentru a calcula partea c (segmentul AB), teorema lui Pythagorean este aplicată pentru fiecare triunghi:

  • Pentru triunghiul albastru trebuie:

c2 = h2 + m2

Ca m = b - n, se înlocuiește:

c2 = h2 + b2 (b - n)2

c2 = h2 + b2 - 2bn + n2.

  • Pentru triunghiul roz trebuie să:

h2 = a2 - n2

Se înlocuiește în ecuația precedentă:

c2 = a2 - n2 + b2 - 2bn + n2

c2 = a2 + b2 - 2 miliarde.

Știind că n = a * cos C, este substituit în ecuația precedentă și valoarea părții c este obținută:

c2 = a2 + b2 - 2b* la * cos C.

Prin Legea cosinelor, laturile pot fi calculate ca:

  • la2 = b2 + c2 - 2b* c * cos A.
  • b2 = a2 + c2 - 2a* c * cos B.
  • c2 = a2 + b2 - 2b* la * cos C.

Există cazuri în care măsurătorile laturilor triunghiului nu sunt cunoscute, dar înălțimea lor și unghiurile care se formează în vârfuri. Pentru a determina zona în aceste cazuri, este necesar să se aplice rapoartele trigonometrice.

Cunoscând unghiul unuia dintre vârfurile sale, picioarele sunt identificate și se utilizează raportul trigonometric corespunzător:

De exemplu, piciorul AB va fi opus pentru unghiul C, dar adiacent la unghiul A. În funcție de partea sau piciorul corespunzătoare înălțimii, cealaltă parte este curățată pentru a obține valoarea acesteia.

pregătire

Primul exercițiu

Calculați suprafața și o înălțime a triunghiului scară ABC, știind că laturile sale sunt:

a = 8 cm.

b = 12 cm.

c = 16 cm

soluție

Pe măsură ce sunt date datele măsurătorilor celor trei laturi ale triunghiului scalene.

Deoarece nu aveți valoarea înălțime, puteți determina zona prin aplicarea formulei Heron.

Mai întâi se calculează semiperimetrul:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Acum se înlocuiesc valorile din formula Heronului:

Cunoscând zona poate fi calculată înălțimea relativă pe partea b. Din formula generală, curățând-o, avem:

Zona = (partea * h) ÷ 2

46, 47 cm2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm2) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

Al doilea exercițiu

Având în vedere triunghiul scalene ABC, ale cărui măsuri sunt:

  • Segment AB = 25 m.
  • Segment BC = 15 m.

La vârful B se formează un unghi de 50 °. Calculați înălțimea relativă la partea c, perimetrul și aria triunghiului respectiv.

soluție

În acest caz, avem măsurile a două părți. Pentru a determina înălțimea este necesar să se calculeze măsurarea celei de-a treia părți.

Deoarece este dat unghiul opus față de laturile date, este posibil să se aplice legea cosinelor pentru a determina măsura părții AC (b):

b2 = a2 + c2 - 2a*c * cos B

în cazul în care:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50sau.

Datele se înlocuiesc:

b2 = (15)2 + (25)2 - 2*(15)*(25) * cos 50

b2 = (225) + (625) - (750) * 0,6427

b2 = (225) + (625) - (482,025)

b2 = 367,985

b = √367,985

b = 19,18 m.

Deoarece avem deja valoarea celor trei laturi, calculăm perimetrul acelui triunghi:

P = partea a + partea b + partea c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Acum este posibil să se determine zona prin aplicarea formulei Heron, dar mai întâi trebuie calculat semiperimetrul:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

Măsurătorile laturilor și semiperimetru se înlocuiesc în formula Heron:

În cele din urmă, cunoscând zona, se poate calcula înălțimea relativă pe partea c. Din formula generală, curățând-o, trebuie să:

Zona = (partea * h) ÷ 2

143,63 m2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m2÷ 25 m

h = 287,3 m2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Al treilea exercițiu

În triunghiul scalar ABC, partea b este de 40 cm, partea c este de 22 cm, iar în vârful A se formează un unghi de 90sau. Calculați aria triunghiului respectiv.

soluție

În acest caz sunt date măsurătorile a două laturi ale triunghiului scalar ABC, precum și unghiul care se formează în vârful A.

Pentru a determina zona nu este necesar să se calculeze măsura părții a, deoarece prin rapoartele trigonometrice unghiul este folosit pentru a-l găsi.

Deoarece este cunoscut unghiul opus față de înălțime, acest lucru va fi determinat de produs pe o parte și de sinusul unghiului.

Înlocuirea în formula zonei trebuie:

  • Zona = (partea * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Zona = (b * c * sen A) ÷ 2

Zona = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Zona = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Zona = 880 cm2 ÷ 2

Suprafață = 440 cm2.

referințe

  1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Desen tehnic: notebook de activitate.
  2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Geometrii. Tehnologia CR.
  3. Angel, A. R. (2007). Algebra elementară Pearson Education,.
  4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Cultură.
  5. Barbosa, J. L. (2006). Geometria euclidiană netedă. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Bazele geometriei. Mexic: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, G. M. (2014). Geometria elementară pentru studenții colegiului. Învățarea în învățământ
  8. Harpe, P. d. (2000). Subiecte în teoria grupului geometric. Universitatea din Chicago Press.