Trăsături triunghi echilaterale, proprietăți, formule și zone

o triunghi echilateral este un poligon cu trei laturi, unde toți sunt egali; adică, au aceeași măsură. Pentru acea caracteristică i sa dat numele de echilateral (părți egale).

Triunghiurile sunt poligoane considerate cele mai simple în geometrie, deoarece ele sunt formate din trei laturi, trei unghiuri și trei vârfuri. În cazul triunghiului echilateral, având laturi egale, implică faptul că cele trei unghiuri vor fi egale.

index

• 1 Caracteristicile triunghiurilor echilaterale
  • 1.1 laturi egale
  • 1.2 Componente
• 2 Proprietăți
  • 2.1 Unghiuri interne
  • 2.2 Unghiuri externe
  • 2.3 Suma laturilor
  • 2.4 laturi congruente
  • 2.5 unghiuri congruente
  • 2.6 Bisectorul, mediana și mediatrixul coincid
  • 2.7 Bisectorul și înălțimea coincid
  • 2.8 Orthocenter, barycenter, incenter și circumcenter coincid
• 3 Cum se calculează perimetrul?
• 4 Cum se calculează înălțimea?
• 5 Cum se calculează laturile?
• 6 Cum se calculează zona?
• 7 Exerciții
  • 7.1 Primul exercițiu
  • 7.2 Al doilea exercițiu
  • 7.3 Al treilea exercițiu
• 8 Referințe

Caracteristicile triunghiurilor echilaterale

Fețe egale

Triunghiurile echilaterale sunt figuri plane și închise, compuse din trei segmente de linii drepte. Triunghiurile sunt clasificate după caracteristicile lor, în raport cu laturile și unghiurile lor; echilateralul a fost clasificat prin folosirea măsurii părților sale ca parametru, deoarece acestea sunt exact aceleași, adică ele sunt congruente.

Triunghiul echilateral este un caz particular al triunghiului isoscel, deoarece două dintre laturile sale sunt congruente. De aceea toate triunghiurile echilaterale sunt de asemenea isosceles, dar nu toate triunghiurile isosceles vor fi echilaterale.

În acest fel triunghiurile echilaterale au aceleași proprietăți ale unui triunghi isoscel.

Triunghiurile trilaterale pot fi, de asemenea, clasificate prin amplitudinea unghiurilor lor interne ca un triunghi echilateral înclinat, care are trei laturi și trei unghiuri interne cu aceeași măsură. Unghiurile vor fi clare, adică vor fi mai puțin de 90 de ani^sau.

componente

Triunghiurile, în general, au câteva linii și puncte care o compun. Ele sunt folosite pentru a calcula suprafața, laturile, unghiurile, medianul, bisectorul, perpendicularul și înălțimea.

• Medianul: este o linie care iese din mijlocul unei părți și ajunge la vârful opus. Cei trei medii concurează într-un punct numit centrocenter sau centru centroid.
• Bisectorul: este o rază care împarte unghiul vârfurilor în două unghiuri de mărime egală, de aceea se numește axa simetriei. Triunghiul echilateral are trei axe de simetrie.

În triunghiul echilateral bisectorul este tras de la vârful unghiului la partea opusă, tăind-o la mijlocul acestuia. Acestea concur în punctul numit incentro.

• Mediatrice: este un segment perpendicular pe partea triunghiului care provine din mijlocul acestuia. Există trei mediatice într-un triunghi și ele concurează într-un punct numit circuncentro.
• Înălțimea: este linia care merge de la vârf la partea care este opusă și, de asemenea, această linie este perpendiculară pe acea parte. Toate triunghiurile au trei înălțimi care coincid într-un punct numit orthocenter.

proprietăţi

Proprietatea principală a triunghiurilor echilaterale este aceea că vor fi întotdeauna triunghiuri isosceles, deoarece isoccelele sunt formate din două laturi congruente și cele echilaterale de trei.

În acest fel, triunghiurile echilaterale au moștenit toate proprietățile triunghiului isoscel:

Unghiuri interne

Suma unghiurilor interne este întotdeauna egală cu 180^sau, și deoarece toate unghiurile sale sunt congruente, atunci fiecare dintre acestea va măsura 60^sau.

Unghiuri externe

Suma unghiurilor externe va fi întotdeauna egală cu 360^sau, deci fiecare unghi exterior va măsura 120^sau. Acest lucru se datorează faptului că unghiurile interne și externe sunt suplimentare, adică adăugarea acestora va fi întotdeauna egală cu 180^sau.

Suma laturilor

Suma măsurilor a două laturi trebuie să fie întotdeauna mai mare decât măsura celei de-a treia părți, adică a + b> c, unde a, b și c sunt măsurătorile fiecărei părți.

Fețe congruente

Triunghiurile trilaterale au cele trei laturi cu aceeași măsură sau lungime; adică sunt congruente. Prin urmare, în elementul anterior avem a = b = c.

Unghiuri congruente

Triunghiurile trilaterale sunt, de asemenea, cunoscute sub numele de triunghiuri echianglane, deoarece cele trei unghiuri interne sunt congruente între ele. Acest lucru se datorează faptului că toate părțile sale au aceeași măsură.

Bisectorul, mediana și mediatrixul coincid

Bisectorul împarte laturile unui triunghi în două părți. În triunghiurile echilaterale partea respectivă va fi împărțită în două părți egale, adică triunghiul va fi împărțit în două triunghiuri drepte congruente.

Astfel, bisectorul tras din orice unghi al unui triunghi echilateral coincide cu mediana și bisectorul laturii opuse acestui unghi.

exemplu:

Următoarea figură prezintă triunghiul ABC cu un punct central D care împarte una din laturile sale în două segmente AD și BD.

Când desenați o linie de la punctul D la vârful opus, prin definiție obțineți CD-ul median, care este relativ la vârful C și partea AB.

Deoarece segmentul CD împarte triunghiul ABC în două triunghiuri egale CDA și CDB, înseamnă că cazul congruență va: partea laterală unghi și, prin urmare, de asemenea, va BCD CD bisector.

Când desenați segmentul CD, împărțiți unghiul de vârf în două unghiuri egale de 30^sau, unghiul vârfului A continuă să măsoare 60^sau iar CD-ul drept formează un unghi de 90 °^sau în ceea ce privește punctul de mijloc D.

CD-ul segmentului formează unghiuri care au aceeași măsurătoare pentru triunghiurile ADC și BDC, adică ele sunt suplimentare în așa fel încât măsurarea fiecăruia va fi:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180^sau

2 _* Med. (ADC) = 180^sau

Med. (ADC) = 180^sau ÷ 2

Med. (ADC) = 90^sau.

Și astfel, avem și faptul că segmentul CD-ului este și bisectorul laturii AB.

Bisectorul și înălțimea coincid

Trăgând bisectoarea din vârful unui unghi la punctul de mijloc partea opusă, aceasta împarte triunghiul echilateral în două triunghiuri congruente.

În așa fel încât să se formeze un unghi de 90 °^sau (Straight). Aceasta indică faptul că acest segment de linie este complet perpendicular pe acea parte și, prin definiție, linia ar fi înălțimea.

În acest fel, bisectorul oricărui unghi al unui triunghi echilateral coincide cu înălțimea relativă pe partea opusă a acelui unghi.

Orthocenter, barycenter, incenter și circumcenter coincid

Ca înălțime, medie și bisector intersecta sunt reprezentate atât de același segment, într-un puncte de întâlnire echilaterale acelor segmente ale the orthocenter, centroida, ınscris și triunghi circuncentro-, au fost în același punct:

Cum se calculează perimetrul?

Perimetrul unui poligon este calculat de suma laturilor. Întrucât în ​​acest caz triunghiul echilateral are toate laturile cu aceeași măsură, perimetrul său se calculează cu următoarea formulă:

P = 3 _* laterale.

Cum se calculează înălțimea?

Deoarece înălțimea este linia perpendiculară pe bază, ea o împarte în două părți egale, extindându-l la vârful opus. Se formează astfel două triunghiuri drept egale.

Înălțimea (h) reprezintă partea opusă (a), jumătatea laturii AC față de partea adiacentă (b), iar partea BC reprezintă hypotenusa (c).

Cu ajutorul teoremei Pythagorean puteți determina valoarea înălțimii:

la² + b² = c²

în cazul în care:

la² = înălțimea (h).

b² = partea b / 2.

c² = partea a.

Înlocuirea acestor valori în teorema lui Pitagora și înlăturarea înălțimii pe care o avem:

h² + ( l / 2)² = L²

h² + L²/ 4 = L²

h² = L²  -  L²/ 4

h² = (4_*L² -  L²) / 4

h² =  3_*L² /4

√h² = √ (3_*L² /4)

Dacă este cunoscut unghiul format de laturile congruente, înălțimea (reprezentată de un picior) poate fi calculată prin aplicarea raporturilor trigonometrice.

Picioarele sunt numite opuse sau adiacente, în funcție de unghiul luat ca referință.

De exemplu, în figura precedentă, cathetul h va fi opus pentru unghiul C, dar adiacent la unghiul B:

Astfel, înălțimea poate fi calculată cu:

Cum se calculează laturile?

Există cazuri în care măsurătorile laturilor triunghiului nu sunt cunoscute, dar înălțimea lor și unghiurile care se formează în vârfuri.

Pentru a determina zona în aceste cazuri, este necesar să se aplice rapoartele trigonometrice.

Cunoscând unghiul unuia dintre vârfurile sale, picioarele sunt identificate și se utilizează raportul trigonometric corespunzător:

Astfel, piciorul AB va fi opusă unghiului C, dar adiacente unghiului A. În funcție de partea sau care corespunde piciorului înălțime, cealaltă parte este eliminată pentru a obține valoarea acestei, știind că într-un triunghi echilateral trei laturile vor avea întotdeauna aceeași măsură.

Cum se calculează zona?

Suprafața triunghiurilor este întotdeauna calculată cu aceeași formulă, înmulțind baza cu înălțimea și împărțind pe două:

Zona = (b _* h) ÷ 2

Știind că înălțimea este dată de formula:

pregătire

Primul exercițiu

Latura unui triunghi echilateral ABC măsoară câte 20 cm fiecare. Calculați înălțimea și suprafața poligonului respectiv.

soluție

Pentru a determina zona acelui triunghi echilateral este necesar să se calculeze înălțimea, știind că atunci când îl desenează, ea împarte triunghiul în două triunghiuri drepte drepte.

În acest fel, teorema lui Pitagora poate fi folosită pentru ao găsi:

la² + b² = c²

în cazul în care:

a = 20/2 = 10 cm.

b = înălțime

c = 20 cm

Datele din teoremă se înlocuiesc:

10² + b² = 20²

100 cm + b² = 400 cm

b² = (400-100) cm

b² = 300 cm

b = √ 300 cm

b = 17,32 cm.

Adică, înălțimea triunghiului este egală cu 17,32 cm. Acum este posibil să se calculeze suprafața triunghiului dat substituind în formula:

Zona = (b _* h) ÷ 2

Zona = (20 cm _* 17,32 cm) ÷ 2

Suprafață = 346,40 cm² ÷ 2

Suprafață = 173,20 cm².

O altă modalitate mai simplă de a rezolva exercițiul este înlocuirea datelor în formula directă a zonei, unde valoarea implicită a înălțimii este, de asemenea, implicită:

Al doilea exercițiu

Într-un teren care are o formă triunghi echilateral, florile vor fi plantate. Dacă perimetrul acelei terenuri este egal cu 450 m, calculați numărul de metri pătrați ocupați de flori.

soluție

Știind că perimetrul unui triunghi corespunde sumei celor trei laturi ale sale și că terenul are forma unui triunghi echilateral, cele trei laturi ale acestui triunghi vor avea aceeași măsură sau lungime:

P = lateral + lateral + lateral = 3 _* L

3 _* L = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m

Acum este necesar doar calcularea înălțimii acelui triunghi.

Înălțimea împarte triunghiul în două triunghiuri drepte congruente, unde unul dintre picioare reprezintă înălțimea și cealaltă jumătate a bazei. Prin teorema pitagoreană, înălțimea poate fi determinată:

la² + b² = c²

în cazul în care:

la = 150 m ÷ 2 = 75 m.

c = 150 m.

b = înălțime

Datele din teoremă se înlocuiesc:

(75 m)² + b² = (150 m)²

5,625 m + b² = 22.500 m

b² = 22.500 m - 5.625 m

b² = 16.875 m

b = 16,875 m

b = 129,90 m.

Astfel, zona care va ocupa florile va fi:

Zona = b * h ÷ 2

Zona = (150 m _* 129,9 m) ÷ 2

Zona = (19,485 m²) ÷ 2

Zona = 9.742,5 m²

Al treilea exercițiu

Triunghiul echilateral ABC este împărțit printr-un segment de linie care merge de la vârful lui C până la punctul central D, situat pe partea opusă (AB). Acest segment măsoară 62 de metri. Calculați suprafața și perimetrul triunghiului echilateral.

soluție

Știind că triunghiul echilateral este împărțit printr-un segment de linie care corespunde înălțimii, formând astfel două triunghiuri drepte congruente, acest lucru la rândul său împarte unghiul vârfului C în două unghiuri cu aceeași măsură, 30^sau fiecare dintre ele

Înălțimea formează un unghi de 90 °^sau în raport cu segmentul AB, iar unghiul vârfului A va măsura 60^sau.

Apoi folosiți ca referință unghiul de 30^sau, CD-ul de înălțime este stabilit ca un picior adiacent la unghiul și BC ca hypotenuse.

Din aceste date se poate determina valoarea uneia dintre laturile triunghiului, folosind rapoartele trigonometrice:

Ca și în triunghiul echilateral toate laturile au exact aceeași măsură sau lungime, înseamnă că fiecare parte a triunghiului echilateral ABC este egală cu 71,6 metri. Știind că este posibil să vă stabiliți zona:

Zona = b * h ÷ 2

Zona = (71,6 m _* 62 m) ÷ 2

Suprafață = 4 438,6 m² ÷ 2

Zona = 2.219,3 m²

Perimetrul este dat de suma celor trei laturi:

P = lateral + lateral + lateral = 3 _* L

P = 3_*L

P = 3 _* 71,6 m

P = 214,8 m.

referințe

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Desen tehnic: notebook de activitate.
2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
3. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Cultură.
4. BARBOSA, J. L. (2006). Geometria euclidiană netedă. SBM. Rio de Janeiro ,.
5. Coxford, A. (1971). Geometrie O abordare de transformare. SUA: Frații Laidlaw.
6. Euclid, R. P. (1886). Elementele de geometrie ale lui Euclid.
7. Héctor Trejo, J. S. (2006). Geometria și trigonometria
8. León Fernández, G. S. (2007). Geometria integrată Institutul Tehnologic Metropolitan.
9. Sullivan, J. (2006). Algebra și trigonometria. Pearson Education.