Proba binomială și exemple

teorema binomială este o ecuație care ne spune cum să dezvoltăm o expresie a formei (a + b)ⁿ pentru un anumit număr natural n. Un binomial nu este altceva decât suma a două elemente, cum ar fi (a + b). De asemenea, ne permite să știm pentru un termen dat de a^kb^n-k care este coeficientul care îl însoțește.

Această teoremă este atribuită în mod obișnuit inventatorului englez, fizicianului și matematicianului Sir Isaac Newton; Cu toate acestea, s-au găsit mai multe înregistrări care indică faptul că în Orientul Mijlociu existența sa era deja cunoscută, în jurul anului 1000.

index

• 1 numere combinatoriale
• 2 Demonstrație
• 3 Exemple
  • 3.1 Identitatea 1
  • 3.2 Identitatea 2
• 4 O altă demonstrație
  • 4.1 Demonstrație prin inducție
• 5 Curiozități
• 6 Referințe

Numere combinatoriale

Teorema binomică ne spune matematic următoarele:

În această expresie a și b sunt numere reale și n este un număr natural.

Înainte de a face demonstrația, să vedem câteva concepte de bază necesare.

Numărul combinatorial sau combinațiile lui n în k se exprimă după cum urmează:

Această formă exprimă valoarea a câte subseturi cu elemente k pot fi alese dintr-un set de elemente n. Expresia sa algebrică este dată de:

Să vedem un exemplu: să presupunem că avem un grup de șapte bile, dintre care două sunt roșii, iar restul sunt albastre.

Vrem să știm câte moduri le putem ordona într-un rând. O modalitate ar fi aceea de a plasa cele două roșii în prima și a doua poziție, iar restul bilelor în pozițiile rămase.

Similar cu cazul precedent, am putea da bile roșii prima și ultima poziție, și să o ocupăm pe ceilalți cu bile albastre.

Acum, o modalitate eficientă de a spune câte moduri putem ordona bilele într-un rând este utilizarea numerelor combinatoriale. Putem vedea fiecare poziție ca element al setului următor:

Apoi este necesar doar să alegeți un subset de două elemente, în care fiecare dintre aceste elemente reprezintă poziția pe care vor ocupa bilele roșii. Putem face această alegere în funcție de relația dată de:

În acest fel, avem că există 21 de modalități de a sorta astfel de bile.

Ideea generală a acestui exemplu va fi foarte utilă în demonstrarea teoremei binomiale. Să analizăm un caz particular: dacă n = 4, avem (a + b)⁴, care nu este altceva decât:

Atunci când dezvoltăm acest produs, avem suma termenilor obținuți prin înmulțirea unui element al fiecăruia dintre cei patru factori (a + b). Astfel, vom avea termeni care vor avea forma:

Dacă vrem să obținem termenul formularului⁴, se înmulțește după cum urmează:

Rețineți că există un singur mod de a obține acest element; dar dacă am căuta acum termenul formularului²b²? Din moment ce "a" și "b" sunt numere reale și, prin urmare, legea comutativă este validă, avem o modalitate de a obține acest termen este de a se multiplica cu membrii indicat de săgeți.

Efectuarea tuturor acestor operații este de obicei oarecum obositoare, dar dacă vom vedea termenul "a" ca o combinație în care vrem să știm câte moduri putem alege două "a" dintr-un set de patru factori, putem folosi ideea exemplului anterior. Deci, avem urmatoarele:

Deci, știm că în dezvoltarea finală a expresiei (a + b)⁴ vom avea exact 6a²b². Folosind aceeași idee pentru celelalte elemente, trebuie să:

Apoi adăugăm expresiile obținute anterior și trebuie:

Este o demonstrație formală pentru cazul general în care "n" este un număr natural.

spectacol

Rețineți că termenii care rămân în curs de dezvoltare (a + b)ⁿ sunt de formă la^kb^n-k, unde k = 0,1, ..., n. Folosind ideea exemplului anterior, avem calea de a alege variabilele "k" "a" de la factorii "n" este:

Prin alegerea în acest mod, alegem automat variabilele n-k "b". Din aceasta rezultă că:

Exemple

Considerând (a + b)⁵, Care ar fi dezvoltarea sa?

Prin teorema binomică trebuie:

Teorema binomică este foarte utilă dacă avem o expresie în care vrem să știm care este coeficientul unui anumit termen fără a trebui să realizăm dezvoltarea completă. Ca exemplu, putem lua următoarea întrebare: care este coeficientul x⁷și⁹ în dezvoltarea lui (x + y)¹⁶?

Prin teorema binomică, avem că coeficientul este:

Un alt exemplu ar fi: care este coeficientul x⁵și⁸ în dezvoltarea (3x-7y)¹³?

Mai întâi rescriem expresia într-un mod convenabil; acesta este:

Apoi, folosind teorema binomică, avem că coeficientul căutat este atunci când avem k = 5

Un alt exemplu de utilizare a acestei teoreme este demonstrarea unor identități comune, cum ar fi cele menționate mai jos.

Identitate 1

Dacă "n" este un număr natural, trebuie să:

Pentru demonstrație folosim teorema binomică, unde atât "a" cât și "b" iau valoarea de 1.Apoi am plecat:

În acest fel am dovedit prima identitate.

Identitate 2

Dacă "n" este un număr natural, atunci

Prin teorema binomică trebuie:

O altă demonstrație

Putem face o demonstrație diferită pentru teorema binomică folosind metoda inductivă și identitatea pascală, care ne spune că dacă "n" și "k" sunt numere întregi pozitive care îndeplinesc n ≥ k, atunci:

Demonstrație prin inducție

Mai întâi, să vedem că baza inductivă este îndeplinită. Dacă n = 1, trebuie să:

Efectiv, vedem că este împlinită. Acum, lăsați n = j astfel încât să se îndeplinească:

Vrem să vedem că pentru n = j + 1 se îndeplinește faptul că:

Deci, trebuie:

Prin ipoteză știm că:

Apoi, folosind proprietatea distributivă:

Ulterior, elaborarea fiecăreia dintre sumările pe care le avem:

Acum, dacă ne grupează împreună într-un mod convenabil, trebuie să:

Folosind identitatea pascalului, trebuie:

În cele din urmă, rețineți că:

Prin urmare, vedem că teorema binomică este îndeplinită pentru tot "n" aparținând numărului natural, și cu aceasta se termină testul.

curiozitati

Numărul combinatorial (nk) este de asemenea numit coeficient binomial deoarece este tocmai coeficientul care apare în dezvoltarea binomului (a + b)ⁿ.

Isaac Newton a dat o generalizare acestei teoreme pentru cazul în care exponentul este un număr real; Această teoremă este cunoscută sub numele de teoremă binomică a lui Newton.

În vremurile antice acest rezultat a fost cunoscut pentru cazul particular în care n = 2. Acest caz este menționat în element de Euclid

referințe

1. Johnsonbaugh Richard. Disciplina matematică PHH
2. Kenneth.H. Matematica discretă și aplicațiile sale. S.A. McGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Disciplina matematică. McGraw-Hill.
4. Ralph P. Grimaldi. Discretă și matematică combinată. Addison-Wesley Iberoamericana
5. Verde Star Luis ... Matematica Discrete și Combinatoria.Anthropos