Exemple de teoreme ale lui Varignon și rezolvări de exerciții



Teorema lui Varignon stabilește că, dacă în orice patrulateră orice puncte sunt legate continuu cu laturile, se generează un paralelogram. Această teoremă a fost formulată de Pierre Varignon și publicată în 1731 în carte Elemente de matematică”.

Publicarea cărții a avut loc la ani după moartea sa. Din moment ce Varignon a fost cel care a prezentat această teoremă, paralelograma este numită după el. Teorema se bazează pe geometria euclidiană și prezintă relațiile geometrice ale quadrilaterals.

index

  • 1 Care este teorema lui Varignon?
  • 2 Exemple
    • 2.1 Primul exemplu
    • 2.2 Al doilea exemplu
  • 3 Exerciții rezolvate
    • 3.1 Exercițiul 1
    • 3.2 Exercițiul 2
    • 3.3 Exercițiul 3
  • 4 Referințe

Care este teorema lui Varignon?

Varignon a susținut că o cifră definită de midpoints unui patrulater va duce întotdeauna la un paralelogram și zona va fi întotdeauna jumătate din suprafața patrulaterală dacă este plat și convex. De exemplu:

În figură se poate vedea un patrulater cu o zonă X, unde midpoints de laturi sunt reprezentate de E, F, G și H și, atunci când sunt unite, formează o paralelogramă. Zona patrulaterală va fi suma zonelor triunghiurilor formate, iar jumătate din acestea corespund zonei paralelogramului.

Deoarece zona paralelogramului este jumătate din suprafața patrulaterală, se poate determina perimetrul paralelogramului respectiv.

Astfel, perimetrul este egal cu suma lungimilor diagonale ale patrulaterului; acest lucru se datorează faptului că medianul patrulaterului va fi diagonalele paralelogramului.

Pe de altă parte, dacă lungimile diagonale ale patrulaterului sunt exact aceleași, paralelograma va fi un diamant. De exemplu:

Din figură se poate observa că, prin aderarea la mijlocul laturilor laturii patrulare, se obține un romb. Pe de altă parte, dacă diagonalele patrulaterului sunt perpendiculare, paralelogramul va fi un dreptunghi.

De asemenea, paralelajul va fi un pătrat când quadrilateral are diagonalele cu aceeași lungime și, de asemenea, să fie perpendicular.

Teorema nu este realizată doar în quadrilaterals plane, ci este implementată și în geometrie spațială sau în dimensiuni mari; adică în acele quadrilaterale care nu sunt convexe. Un exemplu poate fi un octaedru, unde midpoints sunt centroizii fiecărei fețe și formează un paralelipiped.

În acest fel, prin îmbinarea punctelor medii ale diferitelor figuri, se pot obține paralelograme. O modalitate simplă de a verifica dacă acest lucru este adevărat este că părțile opuse trebuie să fie paralele atunci când sunt extinse.

Exemple

Primul exemplu

Prelungirea laturilor opuse pentru a arăta că este o paralelogramă:

Al doilea exemplu

Prin aderarea la punctele de mijloc ale unui diamant obținem un dreptunghi:

Teorema este folosită pentru unirea punctelor situate în mijlocul laturilor unui patrulater și poate fi de asemenea folosită pentru alte tipuri de puncte, cum ar fi o triuză, penta-secțiune sau chiar un număr infinit de secțiuni ( nth), pentru a împărți laturile oricărui patrulater în segmente proporționale.

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1

Avem în figură o ABCD patrulaterală a zonei Z, unde punctele medii ale laturilor sunt PQSR. Verificați dacă se formează o paralelogramă de Varignon.

soluție

Se poate verifica faptul că prin aderarea la punctele PQSR se formează un paralelogram Varignon, tocmai pentru că în declarație sunt date mediile unui patrulater.

Pentru a demonstra acest lucru, punctele medii PQSR sunt unite, astfel încât se poate observa că se formează un alt patrulater. Pentru a arăta că este o paralelă, trebuie să trasezi o linie dreaptă de la punctul C la punctul A, astfel încât să vezi că CA este paralelă cu PQ și RS.

În mod similar, prin extinderea laturilor PQRS se poate observa că PQ și RS sunt paralele, după cum se arată în următoarea imagine:

Exercitarea 2

Are un dreptunghi astfel încât lungimile tuturor laturilor sale să fie egale. La aderarea la mijlocul acestor laturi se formează un romb ABCD, împărțit de două diagonale AC = 7cm și BD = 10cm, care coincid cu măsurătorile laturilor dreptunghiului. Determinați zonele de diamant și dreptunghi.

soluție

Amintim că zona paralelogramului rezultat este jumătate din suprafața patrulaterală, puteți determina suprafața acestora cunoscând că măsura diagonalelor coincide cu laturile dreptunghiului. Deci trebuie să:

AB = D

CD = d

Adreptunghi = (AB * CD) = (10 cm * 7 cm) = 70 cm2

Aromb = A dreptunghi / 2

Aromb = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Exercitarea 3

Avem în figură un patrulater care are unirea punctelor EFGH, lungimile segmentelor sunt date. Determinați dacă unirea EFGH este o paralelă.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

FC = 3,94 HA = 2,77

soluție

Având în vedere lungimea segmentelor, este posibil să se verifice dacă există proporționalitate între segmente; adică, este posibil să știm dacă acestea sunt paralele, referindu-se la segmentele patrulaterului în felul următor:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Apoi, proporționalitatea este verificată, deoarece:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Similar, atunci când se trasează o linie de la punctul B la punctul D, putem vedea că EH este paralel cu BD, la fel cum BD este paralel cu FG. Pe de altă parte, EF este paralel cu GH.

În acest fel se poate determina că EFGH este un paralelogram, deoarece părțile opuse sunt paralele.

referințe

  1. Andres, T. (2010). Olimpiada matematică Tresure. Springer. New York
  2. Barbosa, J. L. (2006). Geometria euclidiană netedă. SBM. Rio de Janeiro.
  3. Howar, E. (1969). Studiul geometriei. Mexic: hispanic - american.
  4. Ramo, G. P. (1998). Soluții necunoscute pentru problemele lui Fermat-Torricelli. ISBN - Lucrare independentă.
  5. Vera, F. (1943). Elemente de geometrie Bogotá.
  6. Villiers, M. (1996). Unele aventuri în geometria euclidiană. Africa de Sud