Motivația lui Moivre în ce constă, demonstrații și exerciții rezolvate

Motivația lui Moivre aplică procese fundamentale de algebră, cum ar fi puterile și extragerea rădăcinilor în numere complexe. Teorema a fost enuntat de renumitul matematician francez Abraham de Moivre (1730), care au asociat numere complexe cu trigonometrie.

Abraham Moivre a făcut această asociere prin expresiile de sân și cosinus. Acest tip de formule matematice generate prin care este posibil să se ridice un număr complex z pentru n putere, care este mai mare sau egal cu un număr întreg pozitiv 1.

index

• 1 Ce este teorema lui Moivre?
• 2 Demonstrație
  • 2.1 Baza inductiva
  • 2.2 Ipoteza inductivă
  • 2.3 Verificarea
  • 2.4 întregul negativ
• 3 Exerciții rezolvate
  • 3.1 Calcularea puterilor pozitive
  • 3.2 Calcularea puterilor negative
• 4 Referințe

Care este teorema lui Moivre?

Teorema lui Moivre prevede următoarele:

Dacă aveți un număr complex în forma polare z = r_ƟÎn cazul în care r este magnitudinea numărul z complexe și ɵ unghiul se numește amplitudine sau argument orice număr complex cu 0 ≤ ɵ ≤ 2π, pentru a calcula puterea n-lea nu trebuie să fie multiplicat cu el însuși n-ori; adică nu este necesar să se facă următorul produs:

Zⁿ = z _* z _* z_{*… *} z = r_{Ɵ *} r_{Ɵ *} r_{Ɵ *… *} r_Ɵ n-ori.

Dimpotrivă, teorema spune că, atunci când scrie z în forma sa trigonometrică, pentru a calcula puterea n-a, procedați după cum urmează:

Dacă z = r (cos Ń + i _* sin Ń) apoi zⁿ = rⁿ (cos n * Ń + i _* sin n * Ń).

De exemplu, dacă n = 2, atunci z² = r²[cos 2 (þ) + i sin 2 (þ)]. Dacă ai n = 3, atunci z³ = z² _* z. În plus:

z³ = r²[cos 2 (þ) + i sin 2 (þ)] _* r [cos 2 (þ) + i sin 2 (þ)] = r³[cos 3 (þ) + i sin 3 (þ)].

Astfel, se pot obține rapoarte trigonometrice de sinus și cosinus pentru multipli de un anumit unghi, atâta timp cât raporturile trigonometrice ale unghiurilor sunt cunoscute.

În mod similar, ea poate fi utilizată pentru a găsi expresii mai precise și mai puțin confuze pentru a rădăcina n a unui număr complex z, astfel încât zⁿ = 1.

Pentru a demonstra teorema lui Moivre se folosește principiul inducției matematice: dacă un întreg „un“ are un „P“ proprietate și dacă, pentru orice întreg „n“ mai mare decât „o“ având proprietatea „P“ este susține că n + 1 are, de asemenea, „P“, atunci toate numerele mai mari sau egale întregi „un“ au „P“ de proprietate deținute.

spectacol

În acest fel, dovada teoremei se face cu următorii pași:

Baza inductiva

Mai întâi este verificat pentru n = 1.

Ca z¹ = (r (cos Ń + i _* sen Ń))¹ = r¹ (cos þ + i _* sen Ń)¹ = r¹ [cos (1_* Ń) + i _* sen (1_* Ń)], avem că pentru n = 1 teorema este îndeplinită.

Ipoteza inductiva

Se presupune că formula este adevărată pentru un întreg întreg pozitiv, adică n = k.

z^k = (r (cos Ń + i _* sen Ń))^k = r^k (cos k Ń + i _* sen k Ń).

testarea

Se dovedește a fi adevărat pentru n = k + 1.

Ca z^{k + 1}= z^k _* z, apoi z^{k + 1} = (r (cos Ń + i _* sen Ń))^{k + 1} = r^k (cos k t + i _* sen kþ) _*  r (cos Ń + i_* senƟ).

Apoi expresiile se înmulțesc:

z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos k)_*(cosŃ) + (cos kŃ)_*(i_*senți) + (i _* sen kþ)_*(costi) + (i _* sen kþ)_*(i_* senƟ)).

Pentru un moment, factorul r este ignorat^{k + 1}, și factorul comun i este eliminat:

(cos kþ)_*(cosŃ) + i (cos kŃ)_*(sinț) + i (sen k)_*(cosŃ) + i²(sen kþ)_*(SenƟ).

Cum eu² = -1, îl înlocuim în expresie și obținem:

(cos kþ)_*(cosŃ) + i (cos kŃ)_*(sinț) + i (sen k)_*(cosŃ) - (sen kŃ)_*(SenƟ).

Acum, partea reală și imaginară sunt ordonate:

(cos kþ)_*(cosŃ) - (sen kŃ)_*(sinți) + i [(sen k t)_*(cosŃ) + (cos kŃ)_*(SenƟ)].

Pentru a simplifica expresia, se aplică identitățile trigonometrice ale sumelor de unghiuri pentru cosinus și păcat, care sunt:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* sen B.

păcatul (A + B) = păcatul A _* cos B - cos A _* cos B.

În acest caz, variabilele sunt unghiurile Ń și kŃ. Aplicând identitățile trigonometrice, avem:

cos kþ _* costi -  sen kþ _* senŃ = cos (kŃ + Ń)

sen kþ _* cosŃ + cos kŃ _* senŃ = sen (kŃ + Ń)

În acest fel, expresia rămâne:

z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kı + Ń) + i _* sen (kŃ + Ń))

z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ń] + i _* sin [(k +1) Ń]).

Astfel, s-ar putea arăta că rezultatul este adevărat pentru n = k + 1. Prin principiul inducției matematice, se concluzionează că rezultatul este valabil pentru toți numerele întregi pozitive; adică, n ≥ 1.

Integer negativ

Motivul lui Moivre se aplică și atunci când n ≤ 0. Luați în considerare un număr întreg negativ "n"; atunci "n" poate fi scris ca "-m", adică, n = -m, unde "m" este un număr întreg pozitiv. Prin urmare:

(cos þ + i _* sen Ń)ⁿ = (cos Ń + i _* sen Ń) ^-m

Pentru a obține exponentul "m" într-un mod pozitiv, expresia este scrisă invers:

(cos þ + i _* sen Ń)ⁿ = 1 ÷ (cos Ń + i _* sen Ń) ^m

(cos þ + i _* sen Ń)ⁿ = 1 ÷ (cos mτ + i _* sen mînt)

Acum, se folosește faptul că dacă z = a + b * i este un număr complex, atunci 1 ÷ z = a-b * i. Prin urmare:

(cos þ + i _* sen Ń)ⁿ = cos (mŃ) - i _* sen (mț).

Folosind cos (x) = cos (-x) și -sen (x) = sin (-x), trebuie să:

(cos þ + i _* sen Ń)ⁿ = [cos (mt) - i _* sen (mț)]

(cos þ + i _* sen Ń)ⁿ = cos (- m) + i _* sen (-mŃ)

(cos þ + i _* sen Ń)ⁿ = cos (nŃ) - i _* păcat (nŃ).

În acest fel, putem spune că teorema se aplică tuturor valorilor întregi ale "n".

Exerciții rezolvate

Calculul puterilor pozitive

Una dintre operațiile cu numere complexe în forma sa polare este multiplicarea dintre două dintre acestea; în acest caz, modulele se înmulțesc și se adaugă argumentele.

Dacă aveți două numere complexe z₁ și z₂ și doriți să calculați (z₁* z₂)², apoi procedați după cum urmează:

z₁z₂ = [r₁ (cos þ₁ + i _* sen þ₁)] * [r₂ (cos þ₂ + i _* sen þ₂)]

Proprietatea distributivă este aplicată:

z₁z₂ = r₁ r₂ (cos þ_1* cos þ₂ + i _* cos þ_1* eu _* sen þ₂ + i _* sen þ_1* cos þ₂ + i²_* sen þ_1* sen þ₂).

Acestea sunt grupate, luând termenul "i" ca un factor comun al expresiilor:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos þ_1* cos þ₂ + i (cos_1* sen þ₂ + sen þ_1* cos þ₂) + i²_* sen þ_1* sen þ₂]

Cum eu² = -1, este înlocuit în expresia:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos þ_1* cos þ₂ + i (cos_1* sen þ₂ + sen þ_1* cos þ₂) - sen þ_1* sen þ₂]

Termenii reali sunt regrupați cu real și imaginar cu imaginar:

z₁z₂ = r₁ r₂ [(cos þ_1* cos þ₂ - sen þ_1* sen þ₂) + i (cos_1* sen þ₂ + sen þ_1* cos þ₂)]

În cele din urmă, se aplică proprietățile trigonometrice:

z₁z₂ = r₁ r₂ [cos (þ₁ + Ɵ₂) + i sen (þ₁ + Ɵ₂)].

În concluzie:

(z₁* z₂)²= (r₁ r₂ [cos (þ₁ + Ɵ₂) + i sen (þ₁ + Ɵ₂)])²

= r₁²r₂²[cos 2 * (þ₁ + Ɵ₂) + i sen 2 * (þ₁ + Ɵ₂)].

Exercițiul 1

Scrieți numărul complex în formă polară dacă z = - 2 -2i. Apoi, folosind teorema lui Moivre, calculează z⁴.

soluție

Numărul complex z = -2 -2i este exprimat în forma dreptunghiulară z = a + bi, unde:

a = -2.

b = -2

Știind că forma polare este z = r (cos Ń + i _* sin Ń), trebuie să determinați valoarea modulului "r" și valoarea argumentului "Ń". Ca r = √ (a² + b²), valorile date sunt înlocuite:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √(4+4)

= √(8)

= √(4*2)

= 2√2.

Apoi, pentru a determina valoarea "Ń", se aplică forma dreptunghiulară a acesteia, care este dată de formula:

tan Ń = b ÷ a

tan Ń = (-2) ÷ (-2) = 1.

Deoarece tan (Ń) = 1 și trebuie să <0, atunci trebuie să:

Ń = arctan (1) + Π.

= Π/4 + Π

= 5Π/4.

Deoarece valoarea "r" și "Ń" a fost deja obținută, numărul complex z = -2 -2i poate fi exprimat în forma polară prin substituirea valorilor:

z = 2√2 (cos (5π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Acum teorema lui Moivre este folosită pentru a calcula z⁴:

z⁴= 2√2 (cos (5π / 4) + i _* sen (5π / 4))⁴

= 32 (cos (5μ) + i _* sen (5μ)).

Exercitarea 2

Găsiți produsul unor numere complexe exprimându-l în forma sa polare:

z1 = 4 (cos 50^sau + i_* 50 sen^sau)

z2 = 7 (cos 100^sau + i_* 100 sen^sau).

Apoi, calculați (z1 * z2) ².

soluție

În primul rând se formează produsul numerelor date:

z₁ z₂ = [4 (cos 50^sau + i_* 50 sen^sau)] * [7 (cos 100^sau + i_* 100 sen^sau)]

Apoi, modulele se înmulțesc împreună și se adaugă argumentele:

z₁ z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^sau + 100^sau) + i_* sen (50^sau + 100^sau)]

Expresia este simplificată:

z₁ z₂ = 28 _* (cos 150^sau + (i_* 150 sen^sau).

În cele din urmă, se aplică teorema lui Moivre:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^sau + (i_* 150 sen^sau)) = 784 (cos 300^sau + (i_* 300 sen^sau)).

Calculul puterilor negative

Pentru a împărți două numere complexe z₁ și z₂ în forma sa polare, modulul este împărțit și argumentele sunt scăzute. Astfel, coeficientul este z₁ ÷ z₂ și se exprimă după cum urmează:

z₁ ÷ z₂ = r1 / r2 ([cos (þ₁- Ɵ₂) + i sen (þ₁ - Ɵ₂)]).

Ca și în cazul precedent, dacă doriți să calculați (z1 ÷ z2) ³ mai întâi se face diviziunea și apoi se utilizează teorema Moivre.

Exercitarea 3

având în vedere:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

calcula (z1 ÷ z2) ³.

soluție

Urmând pașii descriși mai sus, se poate concluziona că:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π /

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2)))

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

referințe

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
2. Croucher, M. (s.f.). Din teorema lui Moivre pentru identitățile Trig. Proiectul Wolfram Demonstrații.
3. Hazewinkel, M. (2001). Enciclopedia de matematică.
4. Max Peters, W.L. (1972). Algebra și trigonometria
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (s.f.). Liniar algebră Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculus. Pearson Education.