Formulele teoreme ale lui Euclid, Demonstrație, Aplicație și Exerciții

Teorema lui Euclid Acesta arată proprietățile unui triunghi dreptunghic prin tragere la o linie care se împarte în două noi triunghiuri care sunt similare și, la rândul lor, sunt similare cu triunghiul inițial; atunci există o relație de proporționalitate.

Euclid a fost unul dintre cei mai mari matematicieni și geometri ai erei vechi care au făcut mai multe demonstrații de teoreme importante. Una dintre cele mai importante este cea care poartă numele său, care a avut o aplicație largă.

Acest lucru a fost atât pentru că, prin faptul că teorema spune relațiile geometrice pur și simplu existente în triunghiul în care picioarele acestei sunt legate de proiecțiile lor pe ipotenuza.

index

1 Formule și demonstrații
- 1.1 Teorema înălțimii
- 1.2 Teorema picioarelor
2 Relația dintre teoremele lui Euclid
3 Exerciții rezolvate
- 3.1 Exemplul 1
- 3.2 Exemplul 2
4 Referințe

Formule și demonstrații

Teorema lui Euclid sugereaza ca toate triunghi dreptunghic, atunci când o linie care reprezintă înălțimea corespunzătoare vârful unghiului drept la hipotenusa- două triunghiuri drepte este extras din forma originală.

Aceste triunghiuri vor fi similare unul cu celălalt și vor fi similare cu triunghiul original, ceea ce înseamnă că laturile lor similare sunt proporționale între ele:

Unghiurile celor trei triunghiuri sunt congruente; adică, atunci când este rotit la 180 de grade pe vârful său, un unghi coincide pe celălalt. Aceasta înseamnă că toată lumea va fi egală.

În acest fel, puteți verifica asemănarea care există între cele trei triunghiuri, prin egalitatea unghiurilor lor. Din similitudinea triunghiurilor, Euclid stabilește proporțiile acestor două teorii:

- Teorema înălțimii.

- Teorema picioarelor.

Această teoremă are o aplicație largă. În Antichitate a fost folosit pentru a calcula înălțimile sau distanțele, reprezentând un mare avantaj pentru trigonometrie.

Se aplică în prezent în mai multe domenii bazate pe matematică, cum ar fi inginerie, fizică, chimie și astronomie, printre multe alte domenii.

Teorema înălțime

Această teoremă afirmă că orice triunghi dreptunghic, înălțimea trase din unghiurile drepte la ipotenuzei este media geometrică proporțională (pătratul înălțimii) între proiecțiile picioarelor determină ipotenuzei.

Adică, pătratul înălțimii va fi egal cu înmulțirea picioarelor proiectate care formează hypotenuse:

h_c² = m _*n

spectacol

Având în vedere un triunghi ABC, care este un dreptunghi la vârful C, atunci când se compară înălțimea, se generează două triunghiuri drepte similare, ADC și BCD; prin urmare, laturile lor corespunzătoare sunt proporționale:

În așa fel încât înălțimea h_c care corespunde cu segmentul CD, corespunde cu hypotenuse AB = c, deci trebuie să:

La rândul său, aceasta corespunde:

Îndepărtarea hipotensei (h_c), pentru a multiplica cei doi membri ai egalității, trebuie să:

h_{c *} h_{c =}m _*n

h_c² = m _*n

Astfel, valoarea hypotenusei este dată de:

Teorema picioarelor

Această teoremă afirmă că în orice triunghi dreptunghic, întinderea fiecărui picior este medie geometrică proporțională (pătrat de fiecare picior) între măsura ipotenuzei (completă) și fiecare proiecție pe această:

b² = c _* m

la² = c_* n

spectacol

Fiind dat un triunghi ABC, adică dreptunghi la vertex C, astfel încât ipotenuza sa este c, prin reprezentarea grafică înălțimea (h) proiecțiile picioarelor b, care sunt segmente m și n, respectiv, și care sunt pe sunt determinate hypotenuse.

Astfel, avem în vedere că înălțimea desenată pe triunghiul drept ABC generează două triunghiuri drepte similare, ADC și BCD, astfel încât laturile corespunzătoare să fie proporționale, astfel:

DB = n, care este proiecția piciorului CB pe hypotenuse.

AD = m, care este proiecția de cathetus AC pe hypotenuse.

Apoi, hypotenusa c este determinată de suma picioarelor proiecțiilor sale:

c = m + n

Datorită asemănării triunghiurilor ADC și BCD, trebuie să:

Cele de mai sus sunt aceleași cu:

Îndepărtarea piciorului "a" pentru a multiplica cei doi membri ai egalității, trebuie să:

la _*a = c_*n

la² = c_*n

Astfel, valoarea piciorului "a" este dată de:

În mod asemănător, prin similitudinea triunghiurilor ACB și ADC, trebuie să:

Cele de mai sus sunt egale cu:

Prin eliminarea piciorului "b" pentru a multiplica cei doi membri ai egalității, trebuie să:

b _*b = c_*m

b² = c_*m

Astfel, valoarea piciorului "b" este dată de:

Relația dintre teoremele lui Euclid

Teoremele cu referire la înălțime și la picioare sunt legate una de alta, deoarece măsurarea ambelor se face în raport cu ipotentul triunghiului drept.

Prin relația dintre teoremele lui Euclid se poate găsi și valoarea înălțimii; care este posibil prin compensarea valorilor m și n ale teoremei piciorului și acestea sunt înlocuite în teorema înălțimii. În acest fel, înălțimea este egală cu înmulțirea picioarelor, împărțită de hypotenuse:

b² = c_*m

m = b² ÷ c

la² = c_*n

n = a² ÷ c

În teorema înălțimii, m și n sunt înlocuite:

h_c² = m _*n

h_c² = (b² ÷ c) _* (un² ÷ c)

h_c = (b² _* la²) ÷ c

Exerciții rezolvate

Exemplul 1

Având în vedere triunghiul ABC, dreptunghiul în A, determina măsura AC și AD, dacă AB = 30 cm și BD = 18 cm

soluție

În acest caz, avem măsurătorile unuia dintre picioarele proiectate (BD) și ale unuia dintre picioarele triunghiului original (AB). În acest fel, teorema piciorului poate fi aplicată pentru a găsi valoarea piciorului BC.

AB² = BD _*BC

(30)² = 18 _*BC

900 = 18 _*BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Valoarea cathetului CD poate fi găsită știind că BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Acum este posibil să se determine valoarea cathetus AC, aplicând din nou teorema piciorului:

AC² = CD _*BD

AC²= 32 _* 50

AC² = 160

AC = √1600 = 40 cm

Pentru a determina valoarea înălțimii (AD) se aplică teorema înălțimii, deoarece sunt cunoscute valorile picioarelor proiectate CD și BD:

AD² = 32 _* 18

AD² = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Exemplul 2

Determinați valoarea înălțimii (h) a unui triunghi MNL, dreptunghi în N, cunoscând măsurătorile segmentelor:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

soluție

Aveți măsurarea unuia dintre picioarele proiectate pe ipotentă (PM), precum și măsurătorile picioarelor triunghiului original. În acest fel puteți aplica teorema piciorului pentru a găsi valoarea celuilalt proiectat (LN):

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

După cum știm deja valoarea picioarelor și a hypotenzei, prin relația dintre teoremele înălțimii și picioarelor, se poate determina valoarea înălțimii:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b² _* la²) ÷ c.

h = (10² _* 5²) ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

referințe

Braun, E. (2011). Haos, fractale și lucruri ciudate. Fondul pentru Cultura Economică.
Cabrera, V. M. (1974). Matematica moderna, volumul 3.
Daniel Hernandez, D.P. (2014). 3 ani matematică Caracas: Santillana.
Enciclopedia Britannica, i. (1995). Enciclopedia hispanică: Macropedia. Enciclopedia Britannica Publishers.
Euclid, R. P. (1886). Elementele de geometrie ale lui Euclid.
Guardeño, A.J. (2000). Moștenirea matematicii: de la Euclid la Newton, geniile prin cărțile sale. Universitatea din Sevilla.

știință

« Ce teorema lui Chebyshov constă în aplicații și exemple Teorema lui Lamy (cu exerciții rezolvate) »