Ce teorema lui Chebyshov constă în aplicații și exemple



Teorema lui Chebyshov (sau inegalitatea lui Chebyshov) este unul dintre cele mai importante rezultate clasice ale teoriei probabilității. Aceasta ne permite să estimăm probabilitatea unui eveniment descris în termenii unei variabile aleatoare X, oferindu-ne o dimensiune care nu depinde de distribuția variabilei aleatoare, ci de varianța lui X.

Teorema este numit după matematicianul rus Cebîșev Pafnuty (de asemenea, scris ca Chebychev sau Tchebycheff), care, deși nu este primul care a enunțe această teoremă, a fost primul pentru a da o demonstrație în 1867.

Această inegalitate sau cele care prin caracteristicile lor sunt numite inegalități Chebyshov, sunt folosite în principal pentru a aproxima probabilitățile prin calculul dimensiunilor.

index

  • 1 Ce este?
  • 2 Aplicații și exemple
    • 2.1 Limitarea probabilităților
    • 2.2 Demonstrarea teoremelor limită
    • Dimensiunea eșantionului
  • 3 Inegalități de tip Chebyșov
  • 4 Referințe

Ce este?

În studiul teoriei probabilității se produce în cazul în care funcția de distribuție a unei variabile aleatoare X este cunoscută, puteți calcula valoarea estimată, sau matematic așteptare E (X) - și variația lui Var (X), cu condiția ca sumele menționate există. Cu toate acestea, reciprocitatea nu este neapărat adevărată.

Asta este, știind E (X) și Var (X) nu se poate obține în mod necesar funcția de distribuție a X, astfel încât cantitățile P (| X |> k) pentru unele k> 0, sunt foarte dificil de obținut. Dar datorită inegalității lui Chebyshov este posibil să se estimeze probabilitatea variabilei aleatoare.

Teorema lui Chebyshov ne spune că dacă avem o variabilă aleatoare X peste un spațiu de probă S cu o funcție de probabilitate p și dacă k> 0, atunci:

Aplicații și exemple

Dintre numeroasele aplicații pe care Teorema lui Chebyshov le posedă, pot fi menționate următoarele:

Diminuarea probabilităților

Aceasta este cea mai comună aplicație și este folosit pentru a da o limită superioară pentru P (| XE (X) | ≥k) unde k> 0, numai varianța și așteptarea variabila aleatoare X, fără a cunoaște funcția de probabilitate .

Exemplul 1

Să presupunem că numărul de produse fabricate într-o companie într-o săptămână este o variabilă aleatorie cu o medie de 50.

În cazul în care se cunoaște faptul că variația de o săptămână de producție este egal cu 25, atunci ce putem spune despre probabilitatea ca producția din această săptămână diferă cu mai mult de 10 la mass-media?

soluție

Aplicând inegalitatea Chebyșovului trebuie să:

Din aceasta putem obtine ca probabilitatea ca, in saptamana de productie, numarul de articole sa depaseasca cu mai mult de 10, media este de cel mult 1/4.

Demonstrarea teoremelor limită

Inegalitatea lui Chebyșov joacă un rol important în demonstrarea celor mai importante teorii limită. Ca exemplu, avem urmatoarele:

Legea slabă a unui număr mare

Această lege prevede că, având o secvență de X1, X2, ..., Xn, ... de variabile aleatoare independente, cu aceeași distribuție E medie (Xi) = μ și varianța Var (X) = σ2, și un eșantion mediu cunoscut de:

Apoi pentru k> 0 trebuie să:

Sau, echivalent:

spectacol

Mai întâi, observați următoarele:

Deoarece X1, X2, ..., Xn sunt independente, rezultă că:

Prin urmare, este posibil să se afirme următoarele:

Apoi, folosind teorema lui Chebyshov, trebuie:

În cele din urmă, teorema rezultă din faptul că limita din dreapta este zero când n tinde spre infinit.

Trebuie remarcat faptul că acest test a fost făcut numai pentru cazul în care variația lui Xi există; adică nu se deosebește. Astfel observăm că teorema este întotdeauna adevărată dacă E (Xi) există.

Chestiunea limitei lui Chebyshov

Dacă X1, X2, ..., Xn, ... este o secvență de variabile aleatoare independente, astfel încât există orice C <infinit, astfel încât Var (Xn) ≤ C pentru orice n natural, atunci pentru orice k> 0:

spectacol

Deoarece succesiunea variațiilor este limitată uniform, avem Var (Sn) ≤ C / n, pentru toate naturale n. Dar știm că:

Făcând n tendința către infinit, următoarele rezultate:

Deoarece o probabilitate nu poate depăși valoarea de 1, se obține rezultatul dorit. Ca o consecință a acestei teoreme am putea menționa cazul special al lui Bernoulli.

Dacă un experiment se repetă de n ori, în mod independent, cu două rezultate posibile (succes și eșec), unde p este probabilitatea de succes în fiecare experiment și X este variabila aleatoare reprezentând numărul de succese, atunci pentru fiecare k> 0 trebuie să:

Dimensiunea eșantionului

În ceea ce privește variația, inegalitatea Cebîșev ne permite să găsească o dimensiune n eșantion, care este suficientă pentru a se asigura că probabilitatea ca | Sn-μ |> = k apare este la fel de mici așa cum se dorește, permițând o aproximare la media.

De exemplu, X1, X2, ... Xn este un eșantion de variabile aleatoare independente de mărime n și să presupunem că E (Xi) = μ și varianța lui σ2. Deci, din cauza inegalității lui Chebyșov, trebuie:

Acum, să fie fixată δ> 0. Trebuie să:

exemplu

Să presupunem că X1, X2, ... Xn sunt o probă de variabile aleatoare independente cu distribuția Bernoulli, astfel încât să ia valoarea 1 cu probabilitatea p = 0,5.

Care ar trebui să fie dimensiunea eșantionului pentru a garanta că probabilitatea ca diferența dintre media aritmetică Sn și valoarea sa așteptată (care depășește mai mult de 0,1) să fie mai mică sau egală cu 0,01?

soluție

Avem că E (X) = μ = p = 0,5 și Var (X) = σ2= p (1-p) = 0,25. Pentru inegalitatea lui Chebyșov, pentru orice k> 0 trebuie să:

Acum, luând k = 0,1 și δ = 0,01, trebuie să:

În acest fel, se concluzionează că o dimensiune a eșantionului de cel puțin 2500 este necesară pentru a se asigura că probabilitatea evenimentului | Sn - 0,5 |> = 0,1 este mai mică de 0,01.

Inegalitățile de tip Chebyșov

Există diverse inegalități legate de inegalitatea Chebyșovului. Una dintre cele mai cunoscute este inegalitatea lui Markov:

În această expresie X este o variabilă aleatoare non-negativă cu k, r> 0.

Markov inegalitatea poate lua diferite forme. De exemplu, permiteți Y să fie o variabilă aleatorie non-negativă (deci P (Y> = 0) = 1) și să presupunem că E (Y) = μ există. Să presupunem de asemenea că (E (Y))r=μr există pentru un număr întreg r> 1. atunci:

O altă inegalitate este aceea a lui Gauss, care ne spune că dată fiind o variabilă aleatorie unimodală X cu modul la zero, atunci pentru k> 0,

referințe

  1. Kai Lai Chung Teoria probațională elementară cu procese stochastice. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Matematica discretă și aplicațiile sale. S.A. McGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Probabilitate și aplicații statistice. Inc ALHAMBRA MEXICANA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Probleme matematice discrete. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria și problemele de probabilitate. McGraw-Hill.