Bolzano explicație teorema, aplicații și rezolvată exerciții

Teorema Bolzano afirmă că, dacă o funcție este continuă la toate punctele de un interval închis [a, b] și deține imaginea „a“ și „b“ (funcția scăzută) au semne opuse, atunci nu va fi de cel puțin un punct "C" în intervalul deschis (a, b), astfel încât funcția evaluată în "c" va fi egală cu 0.

Această teoremă a fost enunțat de filosof, teolog și matematician Bernard Bolzano în 1850. Acest om de știință născut în prezent Republica Cehă a fost unul dintre primii matematicieni din istorie pentru a face o demonstrație formală a proprietăților funcțiilor continue.

index

• 1 Explicație
• 2 Demonstrație
• 3 Pentru ce este?
• 4 Exerciții rezolvate
  • 4.1 Exercițiul 1
  • 4.2 Exercițiul 2
• 5 Referințe

explicație

Teorema lui Bolzano este, de asemenea, cunoscută sub numele de teorema valorilor intermediare, care ajută la determinarea unor valori specifice, în special a zerourilor, a anumitor funcții reale ale unei variabile reale.

Într-o anumită f (x) continuu, adică f (a) și f (b) sunt conectate printr-o curbă, unde f (a) se situează sub axa x (negativă), f (b) funcția deasupra axei x (pozitiv) sau invers, există grafic o tăietură în axa x care reprezintă o valoare intermediară „c“, care este între „a“ și „b“, iar valoarea lui f (c) va fi egal cu 0

Analizând grafic teoria lui Bolzano, știm că pentru fiecare funcție f continuă definită într-un interval [a, b], unde f (a)_*f (b) este mai mică de 0, în intervalul (a, b) va exista cel puțin o rădăcină "c" a acelei funcții.

Această teoremă nu stabilește numărul de puncte existente în intervalul deschis, afirmând doar că există cel puțin un punct.

spectacol

Pentru a demonstra teorema lui Bolzano, se presupune fără pierderea generalității că f (a) <0 și f (b)> 0; în acest fel, pot exista mai multe valori între "a" și "b" pentru care f (x) = 0, dar trebuie să se arate că există doar una.

Începeți prin evaluarea f la mijloc (a + b) / 2. Dacă f ((a + b) / 2) = 0 atunci testul se termină aici; în caz contrar, atunci f ((a + b) / 2) este pozitivă sau negativă.

Se alege unul dintre jumătățile intervalului [a, b], astfel încât semnele funcției evaluate la capete sunt diferite. Acest nou interval va fi [a1, b1].

Acum, dacă f evaluată la mijlocul lui [a1, b1] nu este zero, atunci se efectuează aceeași operație ca înainte; adică, este aleasă o jumătate din acest interval care îndeplinește condiția semnelor. Lăsați acest nou interval să fie [a2, b2].

Dacă acest proces este continuat, atunci vor fi luate două succesiuni {an} și {bn}, astfel încât:

{an} crește și {bn} scade:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ un ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Dacă calculați lungimea fiecărui interval [ai, bi], va trebui să:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2 2.

… .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Prin urmare, limita atunci când n tinde la infinit de (bn-an) este egală cu 0.

Folosind {an} se mărește și se limitează și {bn} scade și se limitează, trebuie să existe o valoare "c" astfel:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Limita lui a este "c" iar limita {bn} este, de asemenea, "c". Prin urmare, având în vedere orice δ> 0, cu condiția să existe un "n" astfel încât intervalul [o, bn] este cuprins în intervalul (c-δ, c + δ).

Acum, trebuie să se arate că f (c) = 0.

Dacă f (c)> 0, atunci f este continuă, deoarece există un ε> 0 astfel încât f este pozitiv pe tot intervalul (c-e, c + ε). Cu toate acestea, așa cum sa arătat mai sus, o valoare "n" astfel încât modificările f sign in [an, bn] si [o, bn] este conținut în (c-c ε + ε), care este o contradicție.

Dacă f (c) <0, atunci f este continuă, există o ε> 0 astfel încât f este negativă pe tot intervalul (c-ε, c + ε); dar există o valoare "n" astfel încât f să schimbe semnul [an, bn]. Este că [o, bn] este conținut în (c-ε, c + ε), care este o contradicție.

Prin urmare, f (c) = 0 și asta am vrut să arătăm.

Pentru ce este?

Din interpretarea grafica, teorema Bolzano este folosit pentru a găsi rădăcini sau zerouri într-o funcție continuă prin împărțire în două (aproximare), care este o metodă care împarte întotdeauna intervale de căutare incrementale în două.

Astfel, dacă funcția schimbă semnul pe un interval, funcția f este evaluată la punctul intermediar, care este exprimată după cum urmează:Rădăcina se găsește atunci când f (c) = 0. Dacă nu, semnul f (c) este analizat pentru a determina dacă este opus semnului f (a) sau al lui f (b).

Apoi luați un interval [a, c] sau [c, b] unde apare schimbarea semnului și repetați procesul până când intervalul este mai mic și mai mic, astfel încât să puteți apropia valoarea dorită; adică valoarea pe care funcția o face 0.

În concluzie, pentru a aplica teorema lui Bolzano și a găsi astfel rădăcinile, a delimita zerourile unei funcții sau a da soluții la o ecuație, se fac următoarele etape:

- Verificați dacă f este o funcție continuă în intervalul [a, b].

- Dacă intervalul nu este dat, trebuie să găsim unde funcția este continuă.

- Verificați dacă extremele intervalului dau semne opuse când este evaluat în f.

- Dacă nu se obțin semne opuse, intervalul trebuie împărțit în două subintervenții folosind punctul intermediar.

- Evaluați funcția la mijloc și verificați dacă ipoteza Bolzano este îndeplinită, unde f (a) _* f (b) <0.

- În funcție de semnul (pozitiv sau negativ) al valorii găsite, procesul se repetă cu un nou subinterval până când ipoteza menționată mai sus este îndeplinită.

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1

Determinați dacă funcția f (x) = x² - 2, are cel puțin o soluție reală în intervalul [1,2].

soluție

Avem funcția f (x) = x² - 2. Deoarece este polinom, înseamnă că este continuă în orice interval.

Vi se cere să determinați dacă aveți o soluție reală în intervalul [1, 2], deci acum trebuie doar să înlocuiți capetele intervalului din funcție pentru a cunoaște semnul acestora și să știți dacă îndeplinesc condiția de a fi diferit:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (negativ)

f (2) = 2² - 2 = 2 (pozitiv)

Prin urmare, semnul f (1) ≠ semnul f (2).

Aceasta asigură că există cel puțin un punct "c" care aparține intervalului [1,2], unde f (c) = 0.

În acest caz, valoarea "c" poate fi ușor calculată după cum urmează:

x² - 2 = 0

x = ± √2.

Astfel, √2 ≈ 1.4 aparține intervalului [1,2] și satisface faptul că f (√2) = 0.

Exercitarea 2

Dovedeste ca ecuatia x⁵ + x + 1 = 0 are cel puțin o soluție reală.

soluție

Mai întâi, notați că f (x) = x⁵ + x + 1 este o funcție polinomială, ceea ce înseamnă că este continuă în toate numerele reale.

În acest caz, nu este dată niciun interval, deci trebuie să alegeți valori intuitiv, de preferință aproape de 0, pentru a evalua funcția și pentru a găsi schimbarea semnului:

Dacă utilizați intervalul [0, 1], trebuie să:

f (x) = x⁵ + x + 1

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Deoarece nu există schimbare de semnal, procesul se repetă cu un alt interval.

Dacă utilizați intervalul [-1, 0] trebuie să:

f (x) = x⁵ + x + 1

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 =  1 > 0.

În acest interval există o schimbare a semnului: semnul f (-1) ≠ semnul f (0), ceea ce înseamnă că funcția f (x) = x⁵ + x + 1 are cel puțin o rădăcină reală "c" în intervalul [-1, 0], astfel încât f (c) = 0. Cu alte cuvinte, este adevărat că x⁵ + x + 1 = 0 are o soluție reală în intervalul [-1,0].

referințe

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Manual de matematică pentru ingineri și studenți ... Editorial MIR.
2. George, A. (1994). Matematică și minte. Oxford University Press.
3. Ilin V, P. E. (1991). Analiza matematică În trei volume ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Profesorii de învățământ secundar. Volumul II. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Proprietățile de bază ale analizei în R. Editores, 20 decembrie.
6. Piskunov, N. (1980). Calculul diferențial și integrat ...
7. Sydsaeter K, H.P. (2005). Matematica pentru analiza economica. Felix Varela
8. William H. Barker, R.H. (s.f.). Simetrie continuă: de la Euclid la Klein. American Mathematical Soc.