Legea lui Morgan

Lochii lui Morgan ele sunt reguli de inferență utilizate în logica propozițională, care stabilesc ceea ce este rezultatul negării unei disjuncții și a unei conjuncții între propoziții sau variabile propoziționale. Aceste legi au fost definite de matematicianul Augustus De Morgan.

Legile lui Morgan reprezintă un instrument foarte util pentru a demonstra valabilitatea unui raționament matematic. Mai târziu, ele au fost generalizate în cadrul conceptului de seturi de matematicianul George Boole.

Această generalizare făcută de Boole este complet echivalentă cu legile inițiale ale lui Morgan, dar este dezvoltată special pentru seturi, mai degrabă decât pentru propoziții. Această generalizare este, de asemenea, cunoscută sub numele de legile lui Morgan.

index

• 1 Revizuirea logicii propoziționale
  • 1.1 Fallația
  • 1.2 Propuneri
• 2 Legile lui Morgan
  • 2.1 Demonstrație
• 3 Seturi
  • 3.1 Uniunea, intersecția și completarea seturilor
• 4 Legile lui Morgan pentru seturi
• 5 Referințe

Revizuirea logicii propoziționale

Înainte de a privi care sunt legile Morgan și modul în care sunt folosite, este convenabil să vă amintiți câteva noțiuni de bază ale logicii propoziționale. (Pentru mai multe detalii vezi articolul despre logica propozițională).

În domeniul logicii matematice (sau propoziționale), o deducere este o concluzie care este emisă dintr-un set de premise sau ipoteze. Această concluzie, împreună cu premisele menționate mai sus, dau naștere la ceea ce se numește raționament matematic.

Acest raționament trebuie să poată fi demonstrat sau respins; adică nu toate concluziile sau concluziile dintr-o rațiune matematică sunt valide.

aberație

O inferență falsă emisă de anumite ipoteze presupuse a fi adevărate este cunoscută ca o eroare. Fallaciile au particularitatea de a fi argumente care par corecte, dar din punct de vedere matematic, ele nu sunt.

logica propozitiilor nu doar să dezvolte și să ofere metode prin care se poate, fără nici o ambiguitate, valida sau infirma raționamentul matematic; care este, deduce o concluzie valabilă din premise. Aceste metode sunt cunoscute ca reguli de inferență, dintre care legile Morgan sunt parte.

propuneri

Elementele esențiale ale logicii propoziționale sunt propoziții. Propunerile sunt declarații despre care se poate spune dacă sunt valabile sau nu, dar nu pot fi adevărate sau false în același timp. Nu ar trebui să existe o ambiguitate în această chestiune.

Și numerele pot fi combinate prin operațiile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire, propuneri pot fi operate prin intermediul unor conectori cunoscute (sau conectori) logice: negația (¬, „nu“), disjuncție (V "o"), coroborat (ʌ, "și"), condiționată (→, "dacă ... atunci ...") și biconditional (↔, "dacă și numai dacă").

Pentru a lucra mai general, în loc de a examina propunerile specifice sunt considerate variabile propozitionale reprezentând orice propuneri, și în general notate cu litere mici p, q, r, s, etc.

O formulă propozițională este o combinație a variabilelor propoziționale prin intermediul unor conectivități logice. Cu alte cuvinte, este o compoziție a variabilelor propoziționale. Acestea sunt de obicei marcate cu litere grecești.

Se spune că o formulă propozițională implică logic altceva atunci când aceasta din urmă este adevărată de fiecare dată când prima este adevărată. Aceasta este indicată de:

Când implicația logică între două formule propozitionale -Asta este reciprocă, atunci implicația de mai sus este valabil și în sens contrar a spus formule sunt logic echivalente, și este notat cu

Logica echivalenței este un fel de egalitate între formulele propoziționale și permite ca unul să fie înlocuit de celălalt atunci când este necesar.

Legea lui Morgan

Legile lui Morgan constau în două echivalențe logice între două forme propoziționale, și anume:

Aceste legi permit separarea negării unei disjuncții sau unei conjuncții, ca negări ale variabilelor implicate.

Primul poate fi citit după cum urmează: negarea unei disjuncții este egală cu conjuncția negărilor. Iar al doilea citește astfel: negarea unei conjuncții este disjuncția negărilor.

Cu alte cuvinte, negarea disjuncției a două variabile propoziționale este echivalentă cu conjuncția negărilor ambelor variabile. De asemenea, negarea conjuncției a două variabile propoziționale este echivalentă cu disjuncția negărilor ambelor variabile.

După cum am menționat mai devreme, înlocuirea acestei echivalențe logice ajută la demonstrarea unor rezultate importante, împreună cu celelalte reguli de inferență existente. Cu acestea puteți simplifica multe formule propoziționale, astfel încât acestea să fie mai utile pentru a lucra cu.

Următoarele reprezintă un exemplu de dovadă matematică care utilizează reguli de inferență, printre legile Morgan. Mai precis, se arată că formula:

este echivalent cu:

Acesta din urmă este mai simplu de înțeles și de dezvoltat.

spectacol

Merită menționat faptul că valabilitatea legilor Morgan poate fi demonstrată matematic. O modalitate constă în compararea tabelelor tale de adevăr.

seturi

Aceleași reguli de inferență și noțiunile de logică aplicate propozițiilor pot fi dezvoltate, de asemenea, în funcție de seturi. Aceasta este ceea ce este cunoscut sub numele de algebră booleană, după matematicianul George Boole.

Pentru a diferenția cazurile, este necesar să schimbăm notația și transferul în seturi, toate noțiunile deja văzute ale logicii propoziționale.

Un set este o colecție de obiecte. Seturile sunt notate cu majuscule A, B, C, X, ... și elementele unui set sunt notate cu litere mici, a, b, c, x, etc. Atunci când un element a aparține unui set X, el este notat cu:

Când nu aparține lui X, notația este:

Modul de a reprezenta seturile este prin plasarea elementelor lor în interiorul tastelor. De exemplu, setul de numere naturale este reprezentat de:

Seturile pot fi reprezentate și fără a scrie o listă explicită a elementelor lor. Ele pot fi exprimate sub forma {:}. Cele două puncte sunt citite "astfel încât". O variabilă reprezentând elementele setului este plasată în partea stângă a celor două puncte, iar proprietatea sau condiția pe care o îndeplinesc este plasată în partea dreaptă. Aceasta este:

De exemplu, setul de numere întregi mai mare de -4 poate fi exprimat ca:

Sau echivalent, și mai abreviat, ca:

În mod similar, următoarele expresii reprezintă seturile de numere perene și paralele, respectiv:

Uniunea, intersecția și completarea seturilor

Apoi, vom vedea analogii conectivității logice în cazul seturilor, care fac parte din operațiunile de bază dintre seturi.

Uniunea și intersecția

Sindicatul și intersecția seturilor sunt definite, respectiv, în modul următor:

De exemplu, luați în considerare seturile:

Apoi, trebuie să:

complement

Completul unui set este format din elementele care nu aparțin acelui set (de același tip care reprezintă originalul). Complementul unui set A este notat cu:

De exemplu, în cadrul numerelor naturale, complementul setului de numere parțiale este acela al numerelor impare și invers.

Pentru a determina completarea unui set, trebuie să fie clar de la început setul universal sau principal de elemente care sunt luate în considerare. De exemplu, nu este egal să considerăm completarea unui set de numere naturale pe cele raționale.

Următorul tabel prezintă relația sau analogia care există între operațiile asupra seturilor definite anterior și cele conexe ale logicii propoziționale:

Legile lui Morgan pentru seturi

În sfârșit, legile lui Morgan despre seturi sunt:

Cuvintele: complementul unei uniuni este intersecția complementelor, iar completarea unei intersecții este unirea complementelor.

O dovadă matematică a primei egalități ar fi următoarea:

Demonstrația celei de-a doua este analogică.

referințe

1. Almaguer, G. (2002). Matematică 1. Editorial Limusa.
2. Aylwin, C.U. (2011). Logică, seturi și numere. Mérida - Venezuela: Consiliul Publicațiilor, Universidad de Los Andes.
3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. și Soto, A. (1998). Introducere în teoria numerelor. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Curs de bază în teoria numerelor. Universitatea din Nord.
5. Cofré, A. și Tapia, L. (1995). Cum să dezvolți rațiunea matematică logică Universitatea Editorial.
6. Guevara, M. H. (s.f.). Teoria numerelor EUNED.
7. Zaragoza, A. C. (s.f.). Teoria numerelor Cărți vizuale editoriale.