Legile exponenților (cu exemple și exerciții rezolvate)

legile exponenților sunt acelea care se aplică acelui număr care indică de câte ori un număr de bază trebuie multiplicat prin el însuși. Exponenții sunt de asemenea cunoscuți drept puteri. Potențarea este o operație matematică formată dintr-o bază (a), exponentul (m) și puterea (b), care este rezultatul operației.

Exponenții sunt utilizați, în general, atunci când se folosesc cantități foarte mari, deoarece acestea nu sunt decât abrevieri care reprezintă multiplicarea aceluiași număr de un anumit număr de ori. Exponentii pot fi atât pozitivi, cât și negativi.

index

• 1 Explicarea legilor exponenților
  • 1.1 Prima lege: puterea exponentului egală cu 1
  • 1.2 A doua lege: puterea exponentului egală cu 0
  • 1.3 A treia lege: exponent negativ
  • 1.4 A patra lege: multiplicarea puterilor cu o bază egală
  • 1.5 A cincea lege: împărțirea puterilor pe bază egală
  • 1.6 A șasea lege: multiplicarea puterilor cu o bază diferită
  • 1.7 A șaptea lege: împărțirea puterilor cu o bază diferită
  • 1.8 Legea a opta: puterea unei puteri
  • 1.9 Legea a IX-a: exponent fracțional
• 2 Exerciții rezolvate
  • 2.1 Exercițiul 1
  • 2.2 Exercițiul 2
• 3 Referințe

Explicarea legilor exponenților

Așa cum am arătat mai sus, exponenții sunt o formă abreviată care reprezintă multiplicarea numerelor în parte de mai multe ori, unde exponentul este legat doar de numărul din stânga. De exemplu:

2³ = 2*2*2 = 8

În acest caz, numărul 2 reprezintă baza puterii, care va fi înmulțită de 3 ori, după cum indică exponentul, situat în colțul din dreapta sus al bazei. Există moduri diferite de citire a expresiei: 2 ridicate la 3 sau 2 ridicate la cub.

Exponenții indică de asemenea numărul de împărțiri și pentru a diferenția această operație de înmulțire, exponentul poartă semnul minus (-) în fața sa (este negativ), ceea ce înseamnă că exponentul este în numitorul unui fracțiune. De exemplu:

2^{- 4} = 1/ 2*2*2*2 = 1/16

Aceasta nu trebuie confundată cu cazul în care baza este negativă, deoarece va depinde de faptul dacă exponentul este par i sau ciudat pentru a determina dacă puterea va fi pozitivă sau negativă. Deci trebuie să:

- Dacă exponentul este egal, puterea va fi pozitivă. De exemplu:

(-7)² = -7 _* -7 = 49.

- Dacă exponentul este ciudat, puterea va fi negativă. De exemplu:

(-2)⁵ = (-2)*(-2)*(-2)*(-2)*(-2)=-32.

Există un caz special în care, dacă exponentul este egal cu 0, puterea este egală cu 1. Există, de asemenea, posibilitatea ca baza să fie 0; în acest caz, în funcție de expunerea, puterea va fi nedeterminată sau nu.

Pentru a efectua operațiuni matematice cu exponenții, este necesar să urmați mai multe reguli sau reguli care facilitează găsirea soluției pentru aceste operații.

Prima lege: puterea exponentului egală cu 1

Când exponentul este 1, rezultatul va fi aceeași valoare a bazei: a¹ = a.

Exemple

9¹ = 9.

22¹ = 22.

895¹ = 895.

A doua lege: puterea exponentului egală cu 0

Când exponentul este 0, dacă baza este nonzero, rezultatul va fi:, a⁰ = 1.

Exemple

1⁰ = 1.

323⁰=1.

1095⁰ = 1.

A treia lege: exponent negativ

Deoarece exponatul este negativ, rezultatul va fi o fracțiune, unde puterea va fi numitorul. De exemplu, dacă m este pozitiv, atunci a^-m= 1 / a^m.

Exemple

- 3^-1 = 1/ 3.

- 6^-2 = 1 / 6² = 1/36.

- 8^-3 = 1/ 8³ = 1/512.

A patra lege: multiplicarea puterilor pe bază egală

Pentru a multiplica puterile în cazul în care bazele sunt egale și diferite de 0, baza este menținută și exponenții sunt adăugați: a^m _* laⁿ = a^{m + n}.    

Exemple

- 4⁴ _* 4³ = 4⁴⁺³ = 4⁷

- 8¹ _* 8⁴ = 8¹⁺⁴ = 8⁵

- 2² _* 2⁹ = 2²⁺⁹ = 2¹¹

A cincea lege: împărțirea puterilor pe bază egală

Pentru a împărți puterile în care bazele sunt egale și diferite de 0, baza este menținută și exponenții sunt scăzuți după cum urmează: a^m / aⁿ = a^m-n.    

Exemple

- 9² / 9¹ = 9 ^{(2 - 1)} = 9¹.

- 6¹⁵ / 6¹⁰ = 6 ^{(15 - 10)} = 6⁵.

- 49¹² / 49⁶ = 49 ^{(12 - 6)} = 49⁶.

A șasea lege: multiplicarea puterilor cu o bază diferită

În această lege avem opusul a ceea ce este exprimat în al patrulea; adică dacă există baze diferite cu exponenți egali, bazele sunt înmulțite și exponentul este menținut: a^m _* b^m = (a_*b) ^m.

Exemple

- 10² _* 20² = (10 _* 20)² = 200².

- 45¹¹ _* 9¹¹ = (45*9)^{11 =} 405¹¹.

O altă modalitate de a reprezenta această lege este atunci când o multiplicare este ridicată la o putere. Astfel, exponentul va aparține fiecăruia dintre termeni: (a_*b)^m= a^m_* b^m.

Exemple

- (5_*8)⁴ = 5⁴ _* 8⁴ = 40⁴.

- (23 * 7)⁶ = 23⁶ _* 7⁶ = 161⁶.

A șaptea lege: împărțirea puterilor cu diferite baze

Dacă există baze diferite, dar cu exponenți egali, bazele sunt divizate și exponentul este menținut: a^m / b^m = (a / b)^m.

Exemple

- 30³ / 2³ = (30/2)³ = 15³.

- 440⁴ / 80⁴ = (440/80)⁴ = 5,5⁴.

În mod similar, atunci când o diviziune este ridicată la o putere, exponentul va aparține fiecărui termen: (a / b) ^m = a^m / b^m.

Exemple

- (8/4)⁸ = 8⁸ / 4⁸ = 2⁸.

- (25/5)² = 25² / 5² = 5².

Există un caz în care exponentul este negativ. Deci, pentru a fi pozitiv, valoarea numărătorului este inversată cu cea a numitorului, în felul următor:

- (a / b)^-N = (b / a)ⁿ = bⁿ / aⁿ.

- (4/5) ^-9 = ( 5 / 4) ⁹ = 5⁹ / 4⁴.

A opta lege: puterea unei puteri

Când aveți o putere ridicată la o altă putere - adică doi exponenți în același timp -, baza este menținută și exponenții se înmulțește: (a^m)ⁿ= a^{m *n}.

Exemple

- (8³)² = 8 ^(3*2) = 8⁶.

- (13⁹)³ = 13 ^(9*3) = 13²⁷.

- (238¹⁰)¹² = 238^{(10 * 12)} = 238¹²⁰.

Al nouălea lege: exponent fracțional

Dacă puterea are o fracțiune ca exponent, aceasta se rezolvă transformându-l într-o rădăcină n, unde numitorul rămâne ca exponent și numitorul reprezintă indicele rădăcinii:

exemplu

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1

Calculați operațiunile dintre puterile care au diferite baze:

2⁴ _* 4⁴ / 8².

soluție

Aplicând regulile exponenților, în numărător baza se înmulțește și exponentul este menținut, după cum urmează:

2⁴ _* 4⁴ / 8²=(2_*4)⁴ / 8²  =  8⁴ / 8²

Acum, deoarece avem aceleași baze, dar cu exponenți diferiți, baza este menținută și exponenții sunt scutiți:

 8⁴ / 8² = 8^{(4 - 2)} = 8²

Exercitarea 2

Calculați operațiunile dintre puterile mari la o altă putere:

(3²)³ _* (2 _* 6⁵)^-2 _* (2²)³

soluție

Aplicând legile, trebuie să:

(3²)³ _* (2 _* 6⁵)^-2 _* (2²)³

=3⁶ _* 2^-2 _* 2^-10 _* 2⁶

=3⁶ _* 2^{(-2) + (- 10)} _* 2⁶

=3⁶ _*  2^-12 _* 2⁶

=3⁶ _* 2^{(-12) + (6)}

=3⁶ _* 2⁶

=(3_*2)⁶

=6⁶

=46.656

referințe

1. Aponte, G. (1998). Bazele matematicii de bază. Pearson Education.
2. Corbalán, F. (1997). Matematica a fost aplicată vieții de zi cu zi.
3. Jiménez, J. R. (2009). Matematică 1 SEP.
4. Max Peters, W.L. (1972). Algebra și trigonometria
5. Rees, P. K. (1986). Reverte.