Fragmente parțiale și exemple



fracțiuni parțiale ele sunt fracțiuni formate din polinomi, în care numitorul poate fi un polinom liniar sau quadratic și, în plus, poate fi ridicat la o anumită putere. Uneori, atunci când noi funcții raționale este utilă pentru a rescrie funcția ca o sumă de fracții parțiale și fracții simple.

Acest lucru este posibil deoarece, în acest fel, putem manipula aceste funcții într-un mod mai bun, în special în acele cazuri în care este necesară integrarea acestei aplicații. O funcție rațională este pur și simplu coeficientul dintre două polinoame și poate fi corectă sau necorespunzătoare.

Dacă gradul de polinom al numărătorului este mai mic decât numitorul, se numește funcția sa rațională; în caz contrar, este cunoscută ca o funcție rațională necorespunzătoare.

index

  • 1 Definiție
  • 2 Cazuri
    • 2.1 Cauza 1
    • 2.2 Cauza 2
    • 2.3 Cauza 3
    • 2.4 Cauza 4
  • 3 Aplicații
    • 3.1 Calculul cuprinzător
    • 3.2 Legea acțiunii în masă
    • 3.3 Ecuații diferențiale: ecuația logistică
  • 4 Referințe

definiție

Când avem o funcție rațională improprie, putem diviza numărătorul polinom de polinomului numitor și astfel rescrie fracția p (x) / q (x) după algoritmul divizare ca t (x) + s (x) / q (x), unde t (x) este un polinom si s (x) / q (x) este o functie rationala proprie.

O fracție parțială este orice funcție corespunzătoare a polinomilor, al cărui numitor este de formă (ax + b)n o (ax2+ bx + c)n, dacă axul polinomial2 + bx + c nu are rădăcini reale și n este un număr natural.

Pentru a rescrie o funcție rațională în fracții parțiale, primul lucru de făcut este la factorul q numitor (x), ca un produs de factori liniari și / sau pătratică. După ce se procedează astfel, se determină fracțiunile parțiale, care depind de natura factorilor menționați.

cazuri

Considerăm mai multe cazuri separat.

Cazul 1

Factorii lui q (x) sunt toți liniari și nici unul nu este repetat. Aceasta este:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (asx + bs)

Nu există nici un factor liniar identic cu celălalt. Când se produce acest caz, vom scrie:

p (x) / q (x) = A1/ (a1x + b1) + A2/ (a2x + b2) ... + As/ (asx + bs).

Unde A1, A2, ..., As acestea sunt constantele pe care doriți să le găsiți.

exemplu

Vrem să descompunem funcția rațională în fracțiuni simple:

(x - 1) / (x3+ 3x2+ 2x)

Continuăm să factorizăm numitorul, adică:

x3 + 3x2 + 2 x = x (x + 1) (x + 2)

atunci:

(x - 1) / (x3+ 3x2+ 2 x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x + 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B /

Aplicând un multiplu cel mai puțin comun, puteți obține:

x + 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Vrem să obținem valorile constantelor A, B și C, care pot fi găsite prin înlocuirea rădăcinilor care anulează fiecare dintre termeni. Înlocuind 0 pentru x avem:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Înlocuirea - 1 pentru x avem:

- 1 - 1 = - (1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2

Înlocuirea - 2 pentru x avem:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2C

C = -3/2.

În acest fel se obțin valorile A = -1/2, B = 2 și C = -3/2.

Există o altă metodă pentru a obține valorile A, B și C. Dacă în partea dreaptă a ecuației x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) + C x (x + 1) x combinăm termenii, avem:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3A + 2B + C) x + 2A.

Deoarece aceasta este o egalitate de polinoame, avem ca coeficientii din partea stanga trebuie sa fie egali cu cei din partea dreapta. Aceasta are ca rezultat următorul sistem de ecuații:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

La rezolvarea acestui sistem de ecuații obținem rezultatele A = -1/2, B = 2 și C = -3/2.

În cele din urmă, înlocuind valorile obținute, trebuie să:

(X - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Cazul 2

Factorii lui q (x) sunt toți liniari, iar unele sunt repetate. Să presupunem că (ax + b) este un factor care este repetat "s" ori; apoi, la acest factor corespund suma fracțiilor parțiale "s".

As/ (ax + b)s + As-1/ (ax + b)s-1 + ... + A1/ (ax + b).

Unde As, As-1, ..., A1 acestea sunt constantele care trebuie determinate. Cu următorul exemplu vom arăta cum să determinăm aceste constante.

exemplu

Se descompun în fracțiuni parțiale:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Se scrie funcția rațională ca o sumă a fracțiunilor parțiale, după cum urmează:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x-2)2 + E / (x - 2).

atunci:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2x2

Înlocuind 2 pentru x, trebuie să:

7 = 4C, adică C = 7/4.

Înlocuind 0 pentru x avem:

- 1 = -8A sau A = 1/8.

Înlocuindu-le aceste valori în ecuația anterioară și în curs de dezvoltare, trebuie:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 + Dx3 - 2Dx2 + Ex2(x2 - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x4 + (1/8 - 6B + D - 4E) x3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 + (3/2 - 8B) x - 1.

Coeficienții egali obținem următorul sistem de ecuații:

B + E = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Rezolvarea sistemului, avem:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Din acest motiv, trebuie:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x-2).

Cazul 3

Factorii lui q (x) sunt liniare cuadratoare, fără un factor quadratic repetat. În acest caz, factorul patrat (ax2 + bx + c) corespunde fracțiunii parțiale (Ax + B) / (ax)2 + bx + c), unde constantele A și B sunt cele care urmează să fie determinate.

Următorul exemplu arată cum se procedează în acest caz

exemplu

Se descompun în fracțiuni simple a (x + 1) / (x3 - 1).

În primul rând, noi procedăm la factorul numitorului, ceea ce ne dă drept rezultat:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Putem vedea că (x2 + x + 1) este un polinom quadratic ireductibil; adică nu are rădăcini reale. Descompunerea sa în fracțiuni parțiale va fi după cum urmează:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x + 1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

Din aceasta se obtine urmatoarea ecuatie:

x + 1 = (A + B) x2 + (A - B + C) x + (A - C)

Folosind egalitatea de polinoame, obtinem urmatorul sistem:

A + B = 0;

A - B + C = 1;

A - C = 1;

Din acest sistem avem A = 2/3, B = - 2/3 și C = 1/3. Înlocuindu-ne, trebuie:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x + 1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1)

Cazul 4

În cele din urmă, cazul 4 este unul în care factorii lui q (x) sunt liniare și patratice, unde se repetă unii dintre factorii liniare cuadratoare.

În acest caz, dacă (ax2 + bx + c) este un factor patrat care este repetat de "s" ori, atunci fracțiunea parțială corespunzătoare factorului (ax)2 + bx + c) va fi:

(A1x + B) / (ax2 + bx + c) + ... + (As-1x + Bs-1) / (ax)2 + bx + c)s-1 + (Asx + Bs) / (ax)2 + bx + c)s

Unde As, As-1, ..., A și Bs, Bs-1, ..., B sunt constantele pe care doriți să le determinați.

exemplu

Vrem să distrugem următoarea funcție rațională în fracțiuni parțiale:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Ca x2 - 4x + 5 este un factor quadratic ireductibil, avem ca descompunerea lui în fracțiuni parțiale este dată de:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x + 5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Simplificând și dezvoltând, avem:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (x2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (- 8A - 4B + C) x3 + (26A + 5B - 4C + D) x2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Din cele de mai sus avem următorul sistem de ecuații:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

La rezolvarea sistemului, trebuie:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 și E = - 3/5.

La înlocuirea valorilor obținute avem:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x8) / 25 (x2 - 4x + 5) + (2x3) / 5 (x2 - 4x + 5)2

aplicații

Calcul comprehensiv

Fracțiunile parțiale sunt utilizate în principal pentru studiul calculului integrat. Mai jos vom vedea câteva exemple de realizare a integralelor utilizând fracțiuni parțiale.

Exemplul 1

Vrem să calculam integralul:

Putem vedea că numitorul q (x) = (t + 2)2(t + 1) este alcătuit din factori liniari în care una dintre aceste repetări; de aceea suntem în cazul 2.

Trebuie să:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Rescriim ecuația și avem:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t +1) + C (t + 2)2

Dacă t = - 1, trebuie să:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Dacă t = - 2, ne dă:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Apoi, dacă t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Înlocuindu-se valorile lui A și C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Din cele de mai sus avem ca B = - 1.

Noi rescriim integral ca:

Continuăm să rezolvăm acest lucru prin metoda de substituire:

Acest lucru are ca rezultat:

Exemplul 2

Rezolvați următorul integral:

În acest caz, putem lua factorul q (x) = x2 - 4 ca q (x) = (x - 2) (x + 2). În mod evident, suntem în cazul 1. De aceea:

(X-2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B /

De asemenea, poate fi exprimată ca:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Dacă x = - 2, avem:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Și dacă x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Astfel, trebuie să rezolvăm integrarea dată este echivalentă cu rezolvarea:

Acest lucru ne dă drept rezultat:

Exemplul 3

Rezolvați integral:

Avem q (x) = 9x4 + x2 , că putem factoriza în q (x) = x2(9x2 + 1).

Cu această ocazie avem un factor liniar repetat și un factor patrat; adică, suntem în cazul 3.

Trebuie să:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + B / x + (Cx + D) / (9x2 + 1)

1 = A (9x2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Prin gruparea și folosirea egalității de polinoame, avem:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Din acest sistem de ecuații trebuie:

D = -9 și C = 0

În acest fel, avem:

Prin rezolvarea celor de mai sus, avem:

Legea acțiunii în masă

O aplicație interesantă a fracțiunilor parțiale aplicate calculului integral se găsește în chimie, mai exact în legea acțiunii în masă.

Să presupunem că avem două substanțe, A și B, care se alătură și formează o substanță C, astfel încât derivatul cantității de C în funcție de timp este proporțional cu produsul cantităților de A și B la un moment dat.

Putem exprima legea acțiunii în masă după cum urmează:

În această expresie α este cantitatea inițială de grame corespunzătoare lui A și β cantitatea inițială de grame corespunzătoare lui B.

În plus, r și s reprezintă numărul de grame de A și respectiv B, care se combină pentru a forma r grame de C. Pentru partea sa, x reprezintă numărul de grame de substanță C la momentul t și K este Proporționalitate constantă. Ecuația de mai sus poate fi rescrisă ca:

Efectuați următoarea modificare:

Avem că ecuația se transformă în:

Din această expresie putem obține:

În cazul în care da ≠ b, fracții parțiale pot fi utilizate pentru integrare.

exemplu

Luați, de exemplu, o substanță C care rezultă din combinarea unei substanțe A cu un B, astfel încât să fie respectată legea maselor unde valorile a și b sunt 8 și, respectiv, 6. Dați o ecuație care ne dă valoarea de grame a lui C în funcție de timp.

Înlocuind valorile din legea de masă dată, avem:

La separarea variabilelor avem:

Aici 1 / (8 - x) (6 - x) poate fi scris ca o sumă de fracțiuni parțiale, după cum urmează:

Astfel, 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Dacă înlocuim x pentru 6, avem B = 1/2; și substituind x pentru 8, avem A = - 1/2.

Integrarea prin fracțiuni parțiale avem:

Acest lucru ne dă drept rezultat:

Ecuații diferențiale: ecuația logistică

O altă aplicație care poate fi dată fracțiilor parțiale este în ecuația logistică diferențială. În modelele simple avem că rata de creștere a unei populații este proporțională cu mărimea ei; care este:

Acest caz este un ideal și este considerat realist până când se întâmplă că resursele disponibile într-un sistem nu sunt suficiente pentru a menține populația.

În aceste situații este mai rezonabil să credem că există o capacitate maximă, pe care o vom numi L, pe care sistemul o poate susține, și că rata de creștere este proporțională cu mărimea populației înmulțită cu mărimea disponibilă. Acest argument conduce la următoarea ecuație diferențială:

Această expresie se numește ecuația diferențială logistică. Este o ecuație diferențială separabilă care poate fi rezolvată prin metoda integrării prin fracții parțiale.

exemplu

Un exemplu ar fi considerarea unei populații care crește în conformitate cu următoarea ecuație logistică y '= 0.0004y (1000 - y), ale cărei date inițiale sunt 400. Vrem să știm dimensiunea populației la momentul t = 2, unde t este măsurată în ani

Dacă scriem un și "cu notația Leibniz ca o funcție care depinde de t, trebuie să:

Integralul laturii stangi poate fi rezolvat folosind metoda integrarii prin fractiuni partiale:

Această ultimă egalitate poate fi rescrisă după cum urmează:

- Înlocuind y = 0 avem că A este egal cu 1/1000.

- Înlocuind y = 1000 avem că B este egal cu 1/1000.

Cu aceste valori, integralele rămân după cum urmează:

Soluția este:

Utilizarea datelor inițiale:

Când am plecat și am plecat:

Atunci avem la t = 2:

În concluzie, după 2 ani mărimea populației este de aproximativ 597,37.

referințe

  1. A, R. A. (2012). Matematică 1. Universitatea din Andes. Consiliul pentru Publicații.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 integrale rezolvate. Universitatea Națională Experimentală din Tachira.
  3. Leithold, L. (1992). CALCULAREA cu geometrie analitică. HARLA, S.A.
  4. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Calcul. Mexic: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Calculul integrat. Ipotenuză.