Metoda divizării sintetice și exerciții rezolvate

diviziunea sintetică este un mod simplu de a împărți un polinom P (x) cu oricare dintre formulele d (x) = x - c. Este un instrument foarte util deoarece, pe lângă faptul că ne permite să divizăm polinomiali, ne permite de asemenea să evaluăm un polinom P (x) în orice număr c, care la rândul său ne spune exact dacă acest număr este zero sau nu al polinomului.

Datorită algoritmului de divizare, știm că dacă avem două polinoame P (x) și d (x) nu constante, există polinoame q (x) și r (x) unic astfel încât este adevărat că P (x) = q (x) d (x) + r (x), unde r (x) este zero sau mai mică decât q (x). Aceste polinoame sunt cunoscute ca coeficient și respectiv reziduuri sau resturi.

În cazul în care polinomul d (x) are forma x-c, diviziunea sintetică ne oferă o cale scurtă de a găsi care sunt q (x) și r (x).

index

• 1 Metoda divizării sintetice
• 2 Exerciții rezolvate
  • 2.1 Exemplul 1
  • 2.2 Exemplul 2
  • 2.3 Exemplul 3
  • 2.4 Exemplul 4
• 3 Referințe

Metoda divizării sintetice

Fie P (x) = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ ... + a₁x + a₀ polinomul pe care vrem să îl împărțim și d (x) = x-c divizorul. Pentru a diviza prin metoda divizării sintetice se procedează după cum urmează:

1- Se scrie coeficienții lui P (x) în primul rând. Dacă nu apare nici o putere a lui X, punem zero ca coeficient.

2- În al doilea rând, la stânga a_n plasați c și desenați liniile divizării așa cum se arată în figura următoare:

3. Reducem coeficientul de conducere la al treilea rând.

În această expresie b_n-1= a_n

4 - Înmulțim c cu coeficientul de conducere b_n-1 iar rezultatul este scris în al doilea rând, dar o coloană la dreapta.

5. Adăugăm coloana în care am scris rezultatul anterior și rezultatul pe care l-am pus sub acea sumă; adică, în aceeași coloană, al treilea rând.

Când adăugăm, avem ca rezultat_n-1+ c * b_n-1, care pentru comoditate vom apela b_N-2

6- Înmulțim c cu rezultatul anterior și scrieți rezultatul la dreapta în al doilea rând.

Se repetă etapele 5 și 6 până când ajungem la coeficientul a₀.

8- Scrieți răspunsul; adică, coeficientul și reziduul. Deoarece facem împărțirea unui polinom de gradul n între un polinom de gradul 1, avem un coeficient serios al gradului n-1.

Coeficienții polinomului coeficientului vor fi numerele celui de-al treilea rând, cu excepția ultimului, care va fi polinomul rezidual sau restul diviziunii.

Exerciții rezolvate

Exemplul 1

Realizați următoarea diviziune prin metoda divizării sintetice:

(x⁵+ 3x⁴-7x³+ 2x²-8x + 1): (x + 1).

soluție

Mai întâi scrieți coeficienții dividendului după cum urmează:

Apoi scrie c pe partea stângă, în al doilea rând, împreună cu liniile de divizare. În acest exemplu, c = -1.

Reducem coeficientul de conducere (în acest caz b_n-1 = 1) și înmulțiți-l cu -1:

Vă scriem rezultatul în dreapta în al doilea rând, după cum se arată mai jos:

Adăugăm numerele în coloana a doua:

Înmulțim 2 cu -1 și scrie rezultatul în a treia coloană, al doilea rând:

Adăugăm în coloana a treia:

Procedăm în mod analog până când ajungem în ultima coloană:

Astfel, rezultă că ultimul număr obținut este restul diviziunii, iar numerele rămase sunt coeficienții polinomului coeficientului. Aceasta este scrisă după cum urmează:

Dacă vrem să verificăm dacă rezultatul este corect, este suficient să verificăm dacă este îndeplinită următoarea ecuație:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

În acest fel, putem verifica dacă rezultatul obținut este corect.

Exemplul 2

Efectuați următoarea diviziune a polinomilor prin metoda divizării sintetice

(7x³-x + 2): (x + 2)

soluție

În acest caz, avem termenul x² nu apare, deci vom scrie 0 ca coeficient. Deci, polinomul ar fi de 7x³+ 0x²-x + 2

Noi scriem coeficienții lor într-un rând, acesta este:

Scrieți valoarea lui C = -2 în partea stângă în al doilea rând și trageți liniile de divizare.

Reducem coeficientul de conducere b_n-1 = 7 și se înmulțește cu -2, scriind rezultatul în al doilea rând spre dreapta.

Adăugăm și continuăm așa cum am explicat anterior, până când ajungem la ultimul termen:

În acest caz, restul este r (x) = - 52 și coeficientul obținut este q (x) = 7x²-14x + 27

Exemplul 3

O altă modalitate de a folosi diviziunea sintetică este următoarea: presupunem că avem un polinom P (x) de gradul n și vrem să știm ce valoare este atunci când o evaluează în x = c.

Prin algoritmul diviziunii avem că putem scrie polinomul P (x) în felul următor:

În această expresie q (x) și r (x) sunt coeficientul și respectiv restul. Dacă d (x) = x-c, atunci când evaluăm în c în polinom, găsim următoarele:

Din acest motiv, trebuie doar să găsim r (x), iar asta putem face datorită diviziunii sintetice.

De exemplu, avem polinomul P (x) = x⁷-9x⁶+ 19x⁵+ 12x⁴-3x³+ 19x²-37x-37 și vrem să știm ce valoare are atunci când o evaluează la x = 5.Pentru a face acest lucru vom efectua împărțirea între P (x) și d (x) = x -5 prin metoda divizării sintetice:

Odată ce operațiile sunt terminate, știm că putem scrie P (x) în felul următor:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -X⁴+ 7x³ + 32x² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Prin urmare, atunci când o evaluăm, trebuie:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) *

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) *

P (5) = 0 + 4253 = 4253

După cum vedem, este posibilă utilizarea divizării sintetice pentru a găsi valoarea unui polinom la evaluarea lui în c în locul înlocuirii pur și simplu a cu x.

Dacă am încerca să evaluăm P (5) în mod tradițional, ar trebui să facem niște calcule care tind să devină plictisitoare.

Exemplul 4

Algoritmul de diviziune pentru polinoame este valabil și pentru polinoamele cu coeficienți complexi și, prin urmare, avem metoda de divizare sintetică care funcționează și pentru aceste polinoame. Apoi vom vedea un exemplu.

Vom folosi metoda divizării sintetice pentru a arăta că z = 1+ 2i este un zero al polinomului P (x) = x³+ (1 + i) x² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); adică restul diviziunii P (x) între d (x) = x - z este egal cu zero.

Procedăm ca mai înainte: în primul rând se scriu coeficienții lui P (x), apoi în al doilea se scrie z și se desenează liniile de divizare.

Am făcut diviziunea ca mai înainte; acesta este:

Putem vedea că reziduul este zero; prin urmare, concluzionăm că z = 1+ 2i este un zero al lui P (x).

referințe

1. Baldor Aurelio. algebră. Grupo Editorial Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: grafic, numeric, algebric Ediția a 7-a Pearson Education.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Prentice Hall
4. Michael Sullivan. precalculus Ed. 4 Pearson Education.
5. Roșu. Armando O. Algebra 1 6 Ed. Ateneul