Calcularea aproximărilor folosind diferențialul

O aproximare în matematică este un număr care nu este valoarea exactă a ceva, dar este atât de aproape de faptul că este considerat util ca acea valoare exactă.

Atunci când aproximările sunt făcute în matematică, este pentru că manual este dificil (sau uneori imposibil) să cunoașteți valoarea exactă a ceea ce este dorit.

Instrumentul principal atunci când lucrați cu aproximări este diferența dintre o funcție.

Diferența unei funcții f, notată cu Δf (x), nu este mai mult decât derivatul funcției f înmulțită cu variația variabilei independente, adică Δf (x) = f '(x) * Δx.

Uneori se folosesc df și dx în loc de Δf și Δx.

Apropierea cu diferențial

Formula care este aplicată pentru a face o aproximare prin diferențiere apare doar din definiția derivatului unei funcții ca limită.

Această formulă este dată de:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Aici se înțelege că Δx = x-x0, prin urmare, x = x0 + Δx. Folosind aceasta formula poate fi rescrisă ca

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Trebuie notat că "x0" nu este o valoare arbitrară, dar este o valoare astfel încât f (x0) să fie ușor de cunoscut; În plus, "f (x)" este doar valoarea pe care dorim să o aproximăm.

Există abordări mai bune?

Răspunsul este da. Cel precedent este cel mai simplu dintre aproximările numite "aproximare liniară".

Pentru aproximări de calitate mai bune (eroarea este mai mică) se utilizează polinoame cu mai multe derivate denumite "polinomi Taylor", precum și alte metode numerice, cum ar fi metoda Newton-Raphson, printre altele.

strategie

Strategia de urmat este:

- Alegeți o funcție corespunzătoare f pentru a efectua aproximarea și valoarea "x" astfel încât f (x) să fie valoarea care urmează să fie aproximată.

- Alegeți o valoare "x0", aproape de "x", astfel încât f (x0) să fie ușor de calculat.

- Calculați Δx = x-x0.

- Calculați derivatul funcției și f '(x0).

- Înlocuiți datele din formula.

Exerciții de aproximare rezolvate

În ceea ce continuă, există o serie de exerciții în care se fac aproximări folosind diferențialul.

Primul exercițiu

Aproximativ √3.

soluție

În urma strategiei, trebuie aleasă o funcție adecvată. În acest caz se poate observa că funcția care trebuie aleasă trebuie să fie f (x) = √x iar valoarea aproximativă este f (3) = √3.

Acum trebuie să alegem o valoare "x0" aproape de "3" astfel încât f (x0) să fie ușor de calculat. Dacă alegeți "x0 = 2", "x0" este aproape de "3", dar f (x0) = f (2) = √2 nu este ușor de calculat.

Valoarea "x0" care este convenabilă este "4", deoarece "4" este aproape de "3" și de asemenea f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Dacă "x = 3" și "x0 = 4", atunci Δx = 3-4 = -1. Acum procedăm pentru a calcula derivatul f. Asta este, f '(x) = 1/2 * √x, astfel încât f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Înlocuind toate valorile din formula:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Dacă se folosește un calculator, se obține că √3≈1.73205 ... Aceasta arată că rezultatul anterior este o aproximare bună a valorii reale.

Al doilea exercițiu

Aproximativ √10.

soluție

Ca și înainte, este aleasă ca o funcție f (x) = √x și în acest caz x = 10.

Valoarea lui x0 care trebuie aleasă în acest moment este "x0 = 9". Atunci avem Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 și f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Când ești evaluat în formula, primești asta

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Folosind un calculator obțineți √10 ≈ 3.1622776 ... Aici puteți vedea, de asemenea, că o aproximație bună a fost obținută înainte.

Al treilea exercițiu

Aproximativ √√10, unde ³√ denotă rădăcina cubului.

soluție

În mod clar, funcția care trebuie utilizată în acest exercițiu este f (x) = √√x și valoarea lui "x" trebuie să fie "10".

O valoare apropiată de "10" astfel încât rădăcina de cub este cunoscută este "x0 = 8". Apoi avem ca Δx = 10-8 = 2 și f (x0) = f (8) = 2. De asemenea, avem f '(x) = 1/3 * √√2 și în consecință f' 1/3 * ³√8² = 1/3 * √√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Înlocuirea datelor din formula se obține astfel:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2,166666 ....

Calculatorul spune că √√10 ≈ 2.15443469 ... Prin urmare, aproximarea găsită este bună.

Al patrulea exercițiu

Aproximarea ln (1.3), unde "ln" desemnează funcția logaritmică naturală.

soluție

Mai întâi, funcția f (x) = ln (x) este aleasă, iar valoarea "x" este 1,3. Acum, știind un pic despre funcția logaritmică, putem ști că ln (1) = 0 și, de asemenea, "1" este aproape de "1.3".Prin urmare, "x0 = 1" este aleasă și astfel Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

Pe de altă parte, f '(x) = 1 / x, astfel încât f' (1) = 1. Când evaluați în formula dată, trebuie să:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Când folosiți un calculator, trebuie să ln (1.3) ≈ 0.262364 ... Deci aproximația făcută este bună.

referințe

1. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Matematică Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Matematica Precalculus: o abordare de rezolvare a problemelor (2, Ed. Ilustrată). Michigan: Sala Prentice.
3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (Ediția 8). Învățarea în învățământ
5. Leal, J. M. și Viloria, N. G. (2005). Geometrie analitică plană. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). calcul (Ediția a IX-a). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Calcul diferențial cu funcții transcendentale timpurii pentru știință și inginerie (Ediția a doua ed.). Ipotenuză.
9. Scott, C. A. (2009). Cartesian Planet Geometry, Partea: Console analitice (1907) (reprint ed.). Sursa fulgerului.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.