Tehnici de analiză dimensională, principiu de omogenitate și exerciții



analiză dimensională este un instrument utilizat pe scară largă în diferite ramuri ale științei și ingineriei pentru a înțelege mai bine fenomenele care implică prezența unor magnitudine fizice diferite. Amplitudinile au dimensiuni, iar din acestea sunt derivate diferitele unități de măsură.

Originea conceptului de dimensiune se găsește în matematicianul francez Joseph Fourier, care la inventat. Fourier a înțeles de asemenea că, pentru ca două ecuații să fie comparabile, ele trebuie să fie omogene în ceea ce privește dimensiunile lor. Adică nu poți adăuga metri cu kilograme.

Astfel, analiza dimensională este responsabilă pentru studierea magnitudinilor, dimensiunilor și omogenității ecuațiilor fizice. Din acest motiv, este frecvent folosit pentru a verifica relațiile și calculele sau pentru a construi ipoteze despre întrebări complicate care pot fi testate ulterior experimental.

În acest fel, analiza dimensională este un instrument perfect pentru detectarea erorilor în calcule atunci când se verifică congruența sau incongruența unităților utilizate în acestea, în special cu accent pe unitățile rezultatelor finale.

În plus, analiza dimensională este folosită pentru a proiecta experimente sistematice. Aceasta permite reducerea numărului de experimente necesare, precum și facilitarea interpretării rezultatelor obținute.

Una dintre bazele fundamentale ale analizei dimensionale este că este posibil să se reprezinte orice cantitate fizică ca produs al puterilor unei cantități mai mici, cunoscute ca cantități fundamentale din care derivă celelalte.

index

  • 1 Mărime fundamentală și formulă dimensională
  • 2 Tehnici de analiză dimensională
    • 2.1 Metoda Rayleigh
    • 2.2 Metoda lui Buckingham
  • 3 Principiul omogenității dimensionale
    • 3.1 Principiul asemănării
  • 4 Aplicații
  • 5 Exerciții rezolvate
    • 5.1 Primul exercițiu
    • 5.2 Exercițiul doi
  • 6 Referințe

Amploarea fundamentală și formula dimensională

În fizică, magnitudinile fundamentale sunt considerate acelea care îi permit pe alții să se exprime în termeni de aceste. Prin convenție au fost alese următoarele: lungimea (L), timpul (T), masa (M), intensitatea curentului electric (I), temperatura (θ), intensitatea luminii cantitatea de substanță (N).

Dimpotrivă, restul este considerat drept cantitate derivată. Unele dintre acestea sunt: ​​zona, volumul, densitatea, viteza, accelerația, printre altele.

Este definită ca o formulă dimensională a egalității matematice care prezintă relația care are loc între o cantitate derivată și cea fundamentală.

Tehnici de analiză dimensională

Există mai multe tehnici sau metode de analiză dimensională. Două dintre cele mai importante sunt următoarele:

Metoda Rayleigh

Rayleigh, care era alături de Fourier, unul dintre precursorii analizei dimensionale, a dezvoltat o metodă directă și foarte simplă, care permite obținerea de elemente fără dimensiuni. În această metodă sunt urmate următorii pași:

1- Funcția caracteristică potențială a variabilei dependente este definită.

2- Fiecare variabilă este modificată prin dimensiunile corespunzătoare.

Se elaborează ecuațiile condițiilor de omogenitate.

4- Necunoscutele n-p sunt fixe.

5- Înlocuiți exponanții care au fost calculați și stabiliți în ecuația potențială.

6- Mutați grupurile de variabile pentru a defini numerele fără dimensiuni.

Metoda lui Buckingham

Această metodă se bazează pe teorema lui Buckingham sau teorema pi, care prevede următoarele:

Dacă există o relație la un nivel dimensional omogen între un număr "n" de magnitudine fizice sau variabile în care apar diferite dimensiuni fundamentale "p", există și o relație de omogenitate între n-p, grupuri independente fără dimensiuni.

Principiul omogenității dimensionale

Principiul Fourier, cunoscut și ca principiul omogenității dimensionale, afectează structurarea corectă a expresiilor care leagă algebric magnitudinea fizică.

Este un principiu care are coerența matematică și afirmă că singura opțiune este să scadă sau să adune împreună magnitudine fizice care sunt de aceeași natură. Prin urmare, nu este posibil să se adauge o masă cu o lungime sau un timp cu o suprafață etc.

În mod similar, principiul afirmă că, pentru ca ecuațiile fizice să fie corecte la nivel dimensional, termenii totali ai membrilor celor două părți ale egalității trebuie să aibă aceeași dimensiune. Acest principiu permite garantarea coerenței ecuațiilor fizice.

Principiul asemănării

Principiul asemănării este o extensie a caracterului omogen al dimensiunilor ecuațiilor fizice. Se menționează după cum urmează:

Legile fizice rămân neschimbate în fața schimbării dimensiunilor (dimensiunilor) unui fapt fizic în același sistem de unități, fie că sunt schimbări de caracter real sau imaginar.

Aplicarea cea mai clară a principiului similitudinii este dată în analiza proprietăților fizice ale unui model realizat la o scară mai mică, pentru a folosi ulterior rezultatele obiectului la dimensiunea reală.

Această practică este fundamentală în domenii precum proiectarea și fabricarea aeronavelor și navelor și în lucrări hidrotehnice mari.

aplicații

Printre numeroasele aplicații de analiză dimensională putem evidenția cele enumerate mai jos.

- Identificați eventuale erori în operațiile efectuate

- Rezolvați problemele a căror rezoluție prezintă dificultăți matematice insurmontabile.

- Proiectarea și analizarea modelelor la scară redusă.

- Faceți observații cu privire la modul în care pot fi modificate posibilele modificări ale modelului.

În plus, analiza dimensională este folosită destul de frecvent în studiul mecanicii fluidelor.

Relevanța analizei dimensionale în mecanica fluidelor se datorează dificultății de a stabili ecuații în anumite fluxuri, precum și dificultățile de rezolvare a acestora, astfel încât este imposibil să se obțină relații empirice. Din acest motiv, este necesar să se recurgă la metoda experimentală.

Exerciții rezolvate

Primul exercițiu

Găsiți ecuația dimensională a vitezei și accelerației.

soluție

Deoarece v = s / t, este adevărat că: [v] = L / T = L ∙ T-1

în mod similar:

a = v / t

[a] = L / T2 = L ∙ T-2

Al doilea exercițiu

Determinați ecuația dimensională a cantității de mișcare.

soluție

Deoarece impulsul este produsul dintre masă și viteză, este satisfăcut că p = m ∙ v

Prin urmare:

[p] = M ∙ L / T = M ∙ L ∙ T-2

referințe

  1. Analiza dimensională (n.d.). În Wikipedia. Adus pe 19 mai 2018 de la es.wikipedia.org.
  2. Analiza dimensională (n.d.). În Wikipedia. Adus pe 19 mai 2018, de la en.wikipedia.org.
  3. Langhaar, H.L. (1951),Analiza dimensională și teoria modelelor, Wiley.
  4. Fidalgo Sánchez, José Antonio (2005).Fizică și chimie. Everest
  5. David C. Cassidy, Gerald James Holton, Floyd James Rutherford (2002).Înțelegerea fizicii. Birkhăuser.