Bayes explicație teorema, aplicații, exerciții



Bayes teorema este o procedură care ne permite să exprimăm probabilitatea condiționată a unui eveniment aleatoriu A dată B în ceea ce privește repartizarea probabilității evenimentului B dat de A și distribuția de probabilitate numai a lui A.

Această teoremă este foarte utilă, deoarece datorită acesteia putem relaționa probabilitatea ca un eveniment A să apară știind că a avut loc B, cu probabilitatea ca să apară și contrariul, adică B apare dat A.

Teorema lui Bayes a fost o propunere de argint de către reverendul Thomas Bayes, un teolog englez din secolul al optsprezecelea, care a fost și matematician. El a fost autorul mai multor lucrări în teologie, dar este în prezent cunoscut pentru câteva tratate matematice, printre care se remarcă teorema lui Bayes, menționată mai sus, ca principal rezultat.

Bayes sa ocupat de această teoremă într-un articol intitulat "Un eseu spre rezolvarea unei probleme în doctrina șanselor", publicat în 1763, și despre care au fost dezvoltate mari lucrări. Studii cu aplicații în diferite domenii ale cunoașterii.

index

  • 1 Explicație
  • 2 Aplicații ale teoremei Bayes
    • 2.1 Exerciții rezolvate
  • 3 Referințe

explicație

În primul rând, pentru o mai bună înțelegere a acestei teoreme, sunt necesare câteva noțiuni de bază ale teoriei probabilității, în special teorema de multiplicare pentru probabilitatea condiționată, care prevede că

Pentru evenimentele E și A arbitrare ale unui spațiu eșantion S.

Și definiția partițiilor, care ne spune că dacă avem A1 , A2, ..., An evenimente ale unui spațiu eșantion S, acestea vor forma o partiție de S, dacă Aeu ele sunt reciproc exclusive și uniunea lor este S.

Având acest lucru, B să fie un alt eveniment. Atunci putem vedea B ca

Unde Aeu intersectate cu B sunt evenimente care se exclud reciproc.

Și, prin urmare,

Apoi, aplicând teorema de multiplicare

Pe de altă parte, probabilitatea condiționată a lui Ai dată de B este definită de

Înlocuindu-ne în mod adecvat trebuie să facem pentru orice

Aplicații ale teoremei Bayes

Datorită acestui rezultat, grupurile de cercetare și diversele corporații au reușit să îmbunătățească sistemele bazate pe cunoaștere.

De exemplu, în studiul bolilor, teorema lui Bayes poate ajuta la identificarea probabilității de a găsi o boală într-un grup de persoane cu o anumită caracteristică, luând ca date ratele globale ale bolii și predominanța respectivelor caracteristici în oameni sănătoși și bolnavi.

Pe de altă parte, în lumea tehnologiilor înalte, a influențat companiile mari care au dezvoltat, datorită acestui rezultat, software-ul "Bazat pe cunoaștere".

Ca exemplu de zi cu zi avem asistenta Microsoft Office. Teorema lui Bayes ajută software-ul să evalueze problemele prezentate de utilizator și să determine ce sfaturi să ofere și astfel să poată oferi un serviciu mai bun în funcție de obiceiurile utilizatorului.

Trebuie remarcat faptul că această formulă a fost ignorată până în ultima vreme, acest lucru fiind datorat în special faptului că, atunci când acest rezultat a fost dezvoltat acum 200 de ani, nu a existat o utilizare practică pentru ei. Cu toate acestea, în zilele noastre, datorită marilor progrese tehnologice, oamenii de știință au realizat modalități de a pune acest rezultat în practică.

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1

O companie celulară are două mașini A și B. 54% din telefoanele mobile produse sunt fabricate de mașina A, iar restul de mașina B. Nu toate telefoanele mobile produse sunt în stare bună.

Proporția telefoanelor mobile defecte realizate de către A este de 0,2 și de B este de 0,5. Care este probabilitatea ca un telefon mobil al fabricii menționate să fie defect? Care este probabilitatea ca, știind că un telefon mobil este defect, vine de la mașina A?

soluție

Aici, aveți un experiment care se face în două părți; în prima parte apar evenimentele:

A: telefon mobil realizat de aparatul A.

B: telefon mobil realizat de aparatul B.

Deoarece mașina A produce 54% din telefoanele mobile, iar restul este produsă de mașina B, aparatul B produce 46% din telefoanele mobile. Probabilitățile acestor evenimente sunt date, și anume:

P (A) = 0,54.

P (B) = 0,46.

Evenimentele celei de-a doua părți a experimentului sunt:

D: telefon mobil defect

E: telefon mobil fără defecte.

Așa cum se spune în declarație, probabilitățile acestor evenimente depind de rezultatul obținut în prima parte:

P (D | A) = 0,2.

P (D | B) = 0,5.

Folosind aceste valori, puteți determina și probabilitățile complementare ale acestor evenimente, și anume:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0,2

= 0,8

și

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0,5

= 0,5.

Acum, evenimentul D poate fi scris după cum urmează:

Aceste evenimente se exclud reciproc.

Utilizând teorema de multiplicare pentru probabilitatea condiționată, rezultă:

Cu care răspunde prima întrebare.

Acum trebuie doar să calculam P (A | D), pentru care se aplică teorema lui Bayes:

Datorită teoremei Bayes, se poate spune că probabilitatea ca un telefon mobil să fie făcut de mașina A, știind că telefonul mobil este defect, este de 0,319.

Exercitarea 2

Trei cutii conțin bile alb și negru. Compoziția fiecăruia dintre ele este următoarea: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

Una dintre cutii este aleasă la întâmplare și din aceasta este extrasă o minge aleatoare, care se dovedește a fi albă. Care este cel mai probabil caseta care a fost aleasă?

soluție

Prin U1, U2 și U3, vom reprezenta și caseta aleasă.

Aceste evenimente constituie o partiție a lui S și se verifică că P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 deoarece alegerea căsuței este aleatorie.

Dacă B = {bila extras este albă}, vom avea P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4.

Ceea ce dorim să obținem este probabilitatea ca mingea să fie scoasă din cutie Ui știind că mingea a fost albă, adică P (Ui | B) și să vedem care dintre cele trei valori a fost cea mai înaltă să știe care caseta a fost mai probabil extracția mingii albe.

Aplicarea teoremei Bayes la prima dintre cutiile:

Și pentru celelalte două:

P (U2 | B) = 2/6 și P (U3 | B) = 1/6.

Apoi, primul dintre cutii este cel care are o probabilitate mai mare de a fi ales pentru extragerea mingii de albastru.

referințe

  1. Kai Lai Chung Teoria probațională elementară cu procese stochastice. Springer-Verlag New York Inc
  2. Kenneth.H. Matematica discretă și aplicațiile sale. S.A. McGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Paul L. Meyer. Probabilitate și aplicații statistice. Inc ALHAMBRA MEXICANA.
  4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 Probleme matematice discrete. McGraw-Hill.
  5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teoria și problemele de probabilitate. McGraw-Hill.