Ce sunt verii relativi? Caracteristici și exemple

Se numește verișorii relativi (coprim sau veri relativi unul de celălalt) la orice pereche de întregi care nu au divizor în comun, cu excepția 1.

Cu alte cuvinte, două numere întregi sunt prime primare dacă în descompunerea lor în prime numere, ele nu au niciun factor în comun.

De exemplu, dacă sunt alese 4 și 25, descompunerile factorului prim sunt fiecare 2 ² și respectiv 5 ². Așa cum este apreciat, acestea nu au un factor comun, prin urmare 4 și 25 sunt prime primare.

Pe de altă parte, dacă sunt selectați cei 6 și cei 24, atunci când realizăm descompunerea lor în factori primiți, obținem 6 = 2 * 3 și 24 = 2 3 * 3.

După cum puteți vedea, aceste ultime două expresii au cel puțin un factor în comun, prin urmare, ele nu sunt prime primare.

Verișorii relativi

Un lucru de a fi atent este că a spune că o pereche de numere întregi sunt prime prime este că acest lucru nu implică faptul că oricare dintre ele este un număr prime.

Pe de altă parte, definiția de mai sus poate fi rezumată după cum urmează: două numere întregi "a" și "b" sunt prime primare dacă și numai dacă cel mai mare divizor comun al acestora este 1, adică mcd a, b) = 1.

Două concluzii imediate ale acestei definiții sunt următoarele:

-Dacă "a" (sau "b") este un număr prime, atunci mcd (a, b) = 1.

-Dacă "a" și "b" sunt numere prime, atunci mcd (a, b) = 1.

Asta este, dacă cel puțin unul dintre numerele alese este un număr prime, atunci direct perechile de numere sunt prime primare.

Alte caracteristici

Alte rezultate care sunt utilizate pentru a determina dacă două numere sunt primes relative sunt:

-În cazul în care două numere întregi sunt consecutive, atunci acestea sunt prime prime.

- Două numere naturale "a" și "b" sunt prime primare dacă și numai dacă numerele "(2 ^ a) -1" și "(2 ^ b) -1"

- Două întregi "a" și "b" sunt prime primare dacă și numai dacă, prin plotarea punctului (a, b) în planul cartezian, și construim linia care trece prin origine (0,0) și a, b), acesta nu conține niciun punct cu coordonate întregi.

Exemple

1.- Luați în considerare numerele întregi 5 și 12. Principalele descompuneri ale factorilor de ambele numere sunt: ​​5 și respectiv 2 ² ​​* 3. În concluzie, gcd (5,12) = 1, prin urmare, 5 și 12 sunt prime primare.

2.- Fie numerele -4 și 6. Apoi -4 = -2² și 6 = 2 * 3, astfel încât LCD (-4.6) = 2 ≠ 1. În concluzie, 4 și 6 nu sunt veri relativi.

Dacă procedăm la graficul liniei care trece prin perechile ordonate (-4,6) și (0,0), și pentru a determina ecuația acestei linii, putem verifica dacă trece prin punctul (-2,3).

Din nou, se concluzionează că -4 și 6 nu sunt prime primare.

3.- Numerele 7 și 44 sunt prime primare și pot fi încheiate rapid datorită celor de mai sus, deoarece 7 este un număr prime.

4.- Luați în considerare numerele 345 și 346. Fiind două numere consecutive se verifică că mcd (345,346) = 1, deci 345 și 346 sunt prime primare.

5.- Dacă se iau în considerare numerele 147 și 74, atunci acestea sunt prime primare, deoarece 147 = 3 * 7² și 74 = 2 * 37, deci gcd (147.74) = 1.

6.- Numerele 4 și 9 sunt prime primare. Pentru a demonstra acest lucru, poate fi utilizată a doua caracterizare menționată mai sus. De fapt, 2 ^ 4-1 = 16-1 = 15 și 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Numerele obținute sunt 15 și 511. Principalele descompuneri ale acestor cifre sunt de 3 * 5 și respectiv 7 * 73, astfel încât mcd (15,511) = 1.

După cum puteți vedea, folosirea celei de-a doua caracterizări este o sarcină mai lungă și mai laborioasă decât verificarea directă.

7.- Luați în considerare numerele -22 și -27. Apoi, aceste numere pot fi rescrise după cum urmează: -22 = -2 * 11 și -27 = -3³. Prin urmare, gcd (-22, -27) = 1, deci -22 și -27 sunt prime primare.

referințe

1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. și Soto, A. (1998). Introducere în teoria numerelor. EUNED.
2. Bourdon, P. L. (1843). Elemente de aritmetică Librăria văduvelor și fiii lui Calleja.
3. Castañeda, S. (2016). Curs de bază în teoria numerelor. Universitatea din Nord.
4. Guevara, M. H. (s.f.). Setul numerelor întregi. EUNED.
5. Institutul Superior pentru Formarea Profesorilor (Spania), J. L. (2004). Numere, forme și volume în mediul copilului. Ministerul Educației.
6. Palmer, C. I., & Bibb, S. F. (1979). Matematică practică: aritmetică, algebră, geometrie, trigonometrie și regula diapozitivelor (reprint ed.). Reverte.
7. Rock, N. M. (2006). Algebra este usoara! Atât de ușor Echipa Rock Press.
8. Smith, S. A. (2000). Algebra. Pearson Education.
9. Szecsei, D. (2006). Matematica de bază și prealgebra (ilustrat ed.). Carieră de presă.
10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). Cursul matematicii 2. Progresul editorial.
11. Wagner, G., Caicedo, A. și Colorado, H. (2010). Principiile de bază ale aritmeticii ELIZCOM S.A.S.