Proprietățile egalității

proprietățile egalității se referă la relația dintre două obiecte matematice, fie numere, fie variabile. Este marcat de simbolul "=", care se întinde întotdeauna între aceste două obiecte. Această expresie este utilizată pentru a stabili că două obiecte matematice reprezintă același obiect; într-un alt cuvânt, că două obiecte sunt același lucru.

Există cazuri în care este banal să folosim egalitatea. De exemplu, este clar că 2 = 2. Cu toate acestea, când vine vorba de variabile, nu mai este deloc trivial și are utilizări specifice. De exemplu, dacă aveți y = x iar pe de altă parte x = 7, puteți concluziona că y = 7 de asemenea.

Exemplul anterior se bazează pe una dintre proprietățile egalității, așa cum se va vedea în scurt timp. Aceste proprietăți sunt esențiale pentru rezolvarea ecuațiilor (egalități care implică variabile), care formează un aspect foarte important în matematică.

index

• 1 Care sunt proprietățile egalității?
  • 1.1 Proprietatea reflexivă
  • Proprietatea simetrică
  • 1.3 Proprietatea tranzitantă
  • 1.4 Proprietatea uniformă
  • 1.5 Proprietatea de anulare
  • 1.6 Proprietatea de înlocuire
  • 1.7 Proprietatea de putere într-o egalitate
  • 1.8 Proprietatea rădăcinii într-o egalitate
• 2 Referințe

Care sunt proprietățile egalității?

Proprietate reflexivă

Proprietatea reflexivă, în cazul egalității, afirmă că fiecare număr este egal cu el însuși și este exprimat ca b = b pentru orice număr real b.

În cazul particular al egalității, această proprietate pare să fie evidentă, dar într-un alt tip de relație între numere nu este. Cu alte cuvinte, nu orice relație de cifre reale îndeplinește această proprietate. De exemplu, un astfel de caz al relației "less than" (<); nici un număr nu este mai mic decât el însuși.

Proprietate simetrică

Proprietatea simetrică pentru egalitate spune că dacă a = b, atunci b = a. Indiferent de ce ordine este folosită în variabile, ea va fi păstrată de relația de egalitate.

O anumită analogie a acestei proprietăți poate fi observată cu proprietatea comutativă în cazul adăugării. De exemplu, datorită acestei proprietăți este echivalentă cu scrierea y = 4 sau 4 = y.

Proprietate transitivă

Proprietatea tranzitiva in egalitate precizeaza ca daca a = b si b = c, atunci a = c. De exemplu, 2 + 7 = 9 și 9 = 6 + 3; prin urmare, prin proprietatea tranzitiva avem 2 + 7 = 6 + 3.

O aplicație simplă este următoarea: să presupunem că Julian are 14 ani și că Mario este de aceeași vârstă ca și Rosa. Dacă Rosa are aceeași vârstă ca Julian, câți ani este Mario?

În spatele acestui scenariu, proprietatea tranzitivă este folosită de două ori. Matematic este interpretat astfel: să fie "a" vârsta lui Mario, "b" vârsta lui Rosa și "c" vârsta lui Julian. Se știe că b = c și că c = 14.

Pentru proprietatea tranzitivă avem b = 14; adică, Rosa are 14 ani. Deoarece a = b și b = 14, folosind din nou proprietatea tranzitivă avem a = 14; adică, că vârsta lui Mario este de asemenea de 14 ani.

Proprietatea uniformă

Proprietatea uniformă este că, dacă ambele părți ale egalității sunt adăugate sau înmulțite cu aceeași sumă, egalitatea este păstrată. De exemplu, dacă 2 = 2, atunci 2 + 3 = 2 + 3, care este clar, atunci 5 = 5. Această proprietate are mai multă utilitate atunci când vine vorba de rezolvarea unei ecuații.

De exemplu, să presupunem că cereți să rezolvați ecuația x-2 = 1. Este convenabil să ne amintim că rezolvarea unei ecuații constă în determinarea explicită a variabilei (sau a variabilelor) implicate, pe baza unui număr specific sau a unei variabile specificate anterior.

Revenind la ecuația x-2 = 1, ceea ce trebuie făcut este să găsim în mod explicit valoarea x. Pentru aceasta, variabila trebuie șters.

A fost învățat eronat că în acest caz, deoarece numărul 2 este negativ, trece pe cealaltă parte a egalității cu un semn pozitiv. Dar nu este corect să spun așa.

Practic, ceea ce se face este să se aplice proprietatea uniformă, așa cum vom vedea mai jos. Ideea este să ștergeți "x"; adică lăsați-l singur pe o parte a ecuației. Prin convenție este de obicei lăsată pe partea stângă.

În acest scop, numărul pe care doriți să îl eliminați este -2. Modul de a face acest lucru ar fi prin adăugarea a 2, deoarece -2 + 2 = 0 și x + 0 = 0. Pentru a face acest lucru fără a modifica egalitatea, aceeași operațiune trebuie aplicată și pe cealaltă parte.

Aceasta permite ca proprietatea uniformă să fie realizată: ca x-2 = 1, dacă numărul 2 este adăugat pe ambele părți ale egalității, proprietatea uniformă spune că același lucru nu este modificat. Atunci avem x 2 + 2 = 1 + 2, ceea ce echivalează cu a spune că x = 3. Cu aceasta ecuația ar fi rezolvată.

În mod similar, dacă doriți să rezolvați ecuația (1/5) y-1 = 9, puteți continua să utilizați proprietatea uniformă după cum urmează:

În general, se pot face următoarele declarații:

- Dacă a-b = c-b, atunci a = c.

- Dacă x-b = y, atunci x = y + b.

- Dacă (1 / a) z = b, atunci z = a ×

- Dacă (1 / c) a = (1 / c) b, atunci a = b.

Proprietatea de anulare

Proprietatea anulară este un caz particular de proprietate uniformă, în special în ceea ce privește cazurile de scădere și împărțire (care, în cele din urmă, corespund și adunării și multiplicării). Această proprietate tratează separat acest caz.

De exemplu, dacă 7 + 2 = 9, atunci 7 = 9-2. Sau dacă 2y = 6, atunci y = 3 (împărțit cu două pe ambele părți).

În mod analog celui precedent, prin proprietatea de anulare se pot stabili următoarele afirmații:

- Dacă a + b = c + b, atunci a = c.

- Dacă x + b = y, atunci x = y-b.

- Dacă az = b, atunci z = b / a.

- Dacă ca = cb, atunci a = b.

Proprietate de înlocuire

Dacă știm valoarea unui obiect matematic, proprietatea de substituție afirmă că această valoare poate fi substituită în orice ecuație sau expresie. De exemplu, dacă b = 5 și a = bx, atunci substituind valoarea "b" în a doua egalitate, avem a = 5x.

Un alt exemplu este următorul: dacă "m" împarte "n" și, de asemenea, "n" împarte "m", atunci trebuie să fie m = n.

De fapt, să spunem că "m" împarte "n" (sau echivalent, că "m" este un divizor al "n") înseamnă că diviziunea m ÷ n este exactă; adică divizând "m" cu "n" obțineți un număr întreg, nu un număr zecimal. Acest lucru poate fi exprimat prin a spune că există un întreg "k" astfel încât m = k × n.

Deoarece "n" de asemenea împarte "m", atunci există un întreg "p" astfel încât n = p × m. Pentru proprietatea de substituție, avem n = p × k × n, iar pentru ca aceasta să se întâmple, există două posibilități: n = 0, caz în care avem identitatea 0 = 0; sau p × k = 1, unde identitatea n = n ar trebui să fie.

Să presupunem că "n" este nenul. Apoi, neapărat p × k = 1; prin urmare, p = 1 și k = 1. Folosind din nou proprietatea de substituție, atunci când înlocuim k = 1 în egalitatea m = k × n (sau echivalent, p = 1 în n = p × m), se obține în final m = n, ceea ce a fost dorit să fie demonstrat.

Proprietatea puterii într-o egalitate

După cum sa observat anterior, dacă o operație se face ca sumă, înmulțire, scădere sau împărțire în ambele termeni de egalitate, ea este păstrată, în același fel în care pot fi aplicate alte operații care nu modifică o egalitate.

Cheia este să o faci întotdeauna pe ambele părți ale egalității și să te asiguri că operația poate fi efectuată anterior. Acesta este cazul împuternicirii; adică dacă ambele părți ale unei ecuații sunt ridicate la aceeași putere, ea are încă o egalitate.

De exemplu, ca 3 = 3, apoi 3²=3² (9 = 9). În general, având un întreg "n", dacă x = y, atunci xⁿ= yⁿ.

Proprietatea rădăcinii într-o egalitate

Acesta este un caz special de potențare și se aplică atunci când puterea este un număr rațional ne-intreg, cum ar fi ½, care reprezintă rădăcina pătrată. Această proprietate afirmă că, dacă aceeași rădăcină este aplicată pe ambele părți ale egalității (ori de câte ori este posibil), egalitatea este păstrată.

Spre deosebire de cazul anterior, aici trebuie să fii atent cu paritatea rădăcinii care urmează a fi aplicată, deoarece este bine cunoscut faptul că rădăcina uniformă a unui număr negativ nu este bine definită.

În cazul în care radicalul este echitabil, nu există nici o problemă. De exemplu, dacă x³= -8, chiar dacă este o egalitate, nu puteți aplica o rădăcină pătrată pe ambele părți, de exemplu. Cu toate acestea, dacă puteți aplica o rădăcină cubică (care este chiar mai convenabilă dacă doriți să cunoașteți în mod explicit valoarea lui x), obțineți acest x = -2.

referințe

1. Aylwin, C.U. (2011). Logică, seturi și numere. Mérida - Venezuela: Consiliul Publicațiilor, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofriguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematică 1 SEP. Prag.
3. Lira, M. L. (1994). Simon și matematică: textul matematicii pentru al doilea an de bază: cartea elevului. Andres Bello.
4. Preciado, C.T. (2005). Cursul matematic 3. Progresul editorial.
5. Segovia, B. R. (2012). Activități matematice și jocuri cu Miguel și Lucia. Baldomero Rubio Segovia.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). Cursul matematicii 2. Progresul editorial.