Paralelipiped caracteristici, tipuri, zona, volumul

o paralelipiped Este un corp geometric format de șase laturi, a căror caracteristică principală este că toate părțile sunt paralelograme și de asemenea fețele sale opuse sunt paralele. Este comun în viața de zi cu zi poliedru noastră, pentru că putem găsi în cutii de pantofi, forma de cărămidă, în formă de un cuptor cu microunde, etc.

Fiind un polyhedron, paralelipipedul acoperă un volum finit și toate fețele sunt plane. Este parte a grupului de prisme, care sunt acele polyhedra în care toate vârfurile lor sunt cuprinse în două planuri paralele.

index

• 1 Elemente ale paralelipipedului
  • 1.1 Faces
  • 1.2 muchii
  • 1.3 Vertex
  • 1.4 Diagonala
  • 1.5 Centrul
• 2 Caracteristicile paralelipipedului
• 3 Tipuri
  • 3.1 Calcularea diagonalelor
• 4 Zona
  • 4.1 Zona ortohedronului
  • 4.2 Zona unui cub
  • 4.3 Zona de rhombohedron
  • 4.4 Zona rombică
• 5 Volumul unui paralelipiped
  • 5.1 Parallelepiped perfect
• 6 Bibliografie

Elemente ale paralelipipedului

Caras

Acestea sunt fiecare dintre regiunile formate de paralelograme care limitează paralelipipedul. Un paralelipiped are șase chipuri, fiecare față având patru fețe adiacente și unul opus. În plus, fiecare față este paralelă cu opusul său.

Aristas

Ele sunt partea comună a două fețe. În total, un paralelipiped are douăsprezece margini.

zenit

Este punctul în comun al celor trei fețe care sunt adiacente unul la altul două până la două. Un paralelipiped are opt vârfuri.

diagonală

Având în vedere cele două fețe ale unui paralelipiped opuse reciproc, putem trage un segment de linie care duce de la vârful de o parte la opusul celelalte vârfuri.

Acest segment este cunoscut ca diagonala paralelipipedului. Fiecare paralelipiped are patru diagonale.

centru

Este punctul în care se intersectează toate diagonalele.

Caracteristicile paralelipipedului

După cum am menționat, acest corp geometric are douăsprezece margini, șase fețe și opt vârfuri.

Într-un paralelipiped pot fi identificate trei seturi formate de patru margini, care sunt paralele unul cu altul. În plus, marginile acestor seturi îndeplinesc, de asemenea, proprietatea de a avea aceeași lungime.

O altă proprietate este posedat de paralelipipede, care sunt convexe, de exemplu, dacă luăm câteva puncte care aparțin în interiorul oricărei cuboidului determinat de perechea de puncte segment va fi, de asemenea, în interiorul paralelipipedului.

Mai mult decât atât, ei fiind paralelipipede poliedre satisface teorema lui Euler pentru poliedre, care oferă o legătură între numărul de capete, numărul de muchii și numărul de noduri. Această relație este dată sub forma următoarei ecuații:

C + V = A + 2

Această caracteristică este cunoscută ca caracteristica lui Euler.

Unde C este numărul de fețe, V numărul de vârfuri și A numărul de margini.

tip

Putem clasifica paralelipipedele pe chipurile lor, în următoarele tipuri:

cuboid

Ele sunt paralelipipedele în care fețele lor sunt formate din șase dreptunghiuri. Fiecare dreptunghi este perpendicular pe cele pe care le împărtășește. Acestea sunt cele mai frecvente în viața noastră de zi cu zi fiind acest mod obișnuit de cutii de încălțăminte și cărămizi.

Cubul sau hexaedrul obișnuit

Acesta este un caz particular al celui anterior, în care fiecare dintre fețe este un pătrat.

Cubul este, de asemenea, o parte a corpurilor geometrice numite solide platonice. Un solid platonic este un poliedru convex, astfel încât ambele fețe și unghiurile lor interne sunt egale.

romboedro

Este un paralelipiped cu diamante pe față. Aceste diamante sunt toate egale unul cu altul, deoarece ele împărtășesc marginile.

Romboiedro

Cele șase fețe ale sale sunt romboide. Reamintim că un romboid este un poligon cu patru laturi și patru unghiuri care sunt egale cu două până la două. Radomboizii sunt paralele, care nu sunt nici pătrat, nici dreptunghiuri, nici romburi.

Pe de altă parte, paralelipipsele oblice sunt cele în care cel puțin o înălțime nu este de acord cu marginea sa. În această clasificare putem include rhombohedronii și rhombohedronii.

Calcule diagonale

Pentru a calcula diagonala unui orthoedron putem folosi teorema Pitagora pentru R³.

Amintiți-vă că un orthohedron are caracteristica că fiecare parte este perpendiculară cu laturile care împart marginea. Din acest fapt putem deduce că fiecare margine este perpendiculară pe cele care împart vârful.

Pentru a calcula lungimea unei diagonale a unui orthoedron procedăm după cum urmează:

1. Calculăm diagonala uneia dintre fețe, pe care o vom pune ca bază. Pentru aceasta folosim teorema lui Pitagora. Denumiți această diagonală d_b.

2. Apoi, cu d_b putem forma un nou triunghi drept, astfel încât ipoteza triunghiului menționat să fie diagonala D căutată.

3. Folosim din nou teorema lui Pitagora și avem lungimea diagonalei:

Un alt mod de a calcula diagonalele într-un mod mai grafic este cu suma vectorilor liberi.

Rețineți că doi vectori liberi A și B sunt adăugați prin plasarea coadă a vectorului B cu vârful vectorului A.

Vectorul (A + B) este una care începe în linia A și se termină la punctul B.

Luați în considerare un paralelipiped la care vrem să calculam o diagonală.

Identificăm marginile cu vectori orientați convenabil.

Apoi vom adăuga astfel de vectori și vectorul rezultat va fi diagonala paralelipipedului.

zonă

Zona de paralelipiped este dată de suma fiecăreia dintre suprafețele de fețele lor.

Dacă determinăm una din laturi ca bază,

A_L + 2A_B = Suprafața totală

Unde A_L Este egală cu suma suprafețelor tuturor părților adiacente bazei, numită zona laterală și A_B este zona de bază.

În funcție de tipul de paralelipipedic cu care lucrăm, putem rescrie formula.

Zona ortohedronului

Acesta este dat de formula

A = 2 (ab + bc + ca).

Exemplul 1

Având în vedere următoarele paralelipiped cu laturile a = 6 cm, 8 cm și b = c = 10 cm, se calculează aria cuboidului și lungimea diagonalei sale.

Folosind formula pentru zona unui orthoedron, trebuie să

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Rețineți că, așa cum este o lungime cuboid de oricare dintre cele patru diagonale este aceeași.

Folosind teorema lui Pythagorean pentru spațiu trebuie să

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Zonă a unui cub

Deoarece fiecare margine are aceeași lungime, avem a = b și a = c. Înlocuind-o în formula anterioară pe care o avem

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a²) = 6a²

A = 6a²

Exemplul 2

Caseta unei console de jocuri are forma unui cub. Dacă vrem ca această hârtie de ambalaj cutie pentru cadouri, cât de mult de hârtie ar cheltui știind că lungimea marginilor de cub sunt de 45 cm?

Folosind formula din zona cubului, obținem asta

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm²) = 12150 cm²

Zona de romboedron

Ca toate părțile sunt egale, pur și simplu se calculează aria unuia și înmulțim cu șase.

Putem calcula suprafața unui diamant folosind diagonalele sale cu următoarea formulă

A_R = (Dd) / 2

Folosind această formulă rezultă că suprafața totală a romboedronului este

A_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Exemplul 3

sunt formate dintr-un romb a cărui diagonalele sunt D = 7 cm și d = 4 cm romboedrale fețele următoare. Zona ta va fi

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Zona unui rombic

Pentru a calcula aria unui romboiedro vom calcula aria romboizii care o compun. Ca paralelipipede îndeplinesc proprietatea pe care laturile opuse au aceeași zonă, putem asocia laturile în trei perechi.

În felul acesta avem ca zona voastră să fie

A_T = 2b₁h₁ + 2b₂h₂ + 2b₃h₃

În cazul în care b_eu sunt bazele asociate laturilor și_eu înălțimea sa relativă corespunzătoare bazelor menționate.

Exemplul 4

Luați în considerare următorul paralelipiped,

în cazul în care o parte și de partea A „(partea opusă) sunt pentru baza b = 10 și h = înălțimea 6. Zona marcată va avea o valoare de

A₁ = 2(10)(6) =120

B și B 'au b = 4 și h = 6, atunci

A₂ = 2(4)(6) = 48

Și C și C 'au b = 10 și h = 5, deci

A₃ = 2(10)(5) =100

În cele din urmă, zona rhombohedronului este

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Volumul unui paralelipiped

Formula care dă volumul unui paralelipiped este produsul zonei de o parte de înălțimea corespunzătoare feței spus.

V = A_Ch_C

În funcție de tipul de paralelipipedic această formulă poate fi simplificată.

Astfel, ne-am, de exemplu, volumul unui paralelipiped ar fi dat de

V = abc

În cazul în care a, b și c reprezintă lungimea marginilor cuboidului.

Și în cazul particular al cubului este

V = a³

Exemplul 1

Există trei modele diferite pentru cutii de cookie-uri și vor să știe care dintre aceste modele pot păstra mai multe cookie-uri, și anume care dintre casetele are un volum mai mare.

Primul este un cub a cărui margine are o lungime de a = 10 cm

Volumul său va fi V = 1000 cm³

Al doilea are margini b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Prin urmare, volumul său este V = 765 cm³

Iar al treilea este e = 9 cm, 9 cm și f = g = 13 cm

Și volumul său este V = 1053 cm³

Prin urmare, caseta cu cel mai mare volum este cea de-a treia.

O altă metodă de obținere a volumului unui paralelipiped este de a folosi algebra vector. În special, produsul triplu scalar.

Una dintre interpretările geometrice având produsul triplu scalar este volumul paralelipipedului, ale cărei margini sunt trei vectori care împart același vertex ca punct de plecare.

Astfel, dacă avem un cuboid și vreau să știu ce volumul, pur și simplu reprezintă un sistem de coordonate R³ potrivind unul dintre vârfurile sale cu originea.

Apoi, noi reprezentăm marginile care se întâlnesc în originea cu vectori așa cum se arată în Fig.

Și în acest fel avem ca volumul paralelipipedului menționat să fie dat de

V = | AxB ∙ C |

Sau volumul este echivalent determinant de 3 x 3 matrice formată de componentele vectorilor de margine.

Exemplul 2

Reprezentând următorul paralelipiped în R³ putem observa că vectorii care o determină sunt următorii

u = (-1, -3,0), v = (5,0,0) și w = (-0,25, -4,4)

Folosind produsul triplu scalar pe care îl avem

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3,0) x (5,0,0) = (0,015)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Din aceasta concluzionăm că V = 60

Acum, luați în considerare următorul paralelipiped în R3 a cărui margini sunt determinate de vectori

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) și C = (3,4,4)

Folosind determinanții ne dă asta

Așa că avem că volumul paralelipipedului menționat este de 112.

Ambele sunt modalități echivalente de a calcula volumul.

Paralelipiped perfectă

Este cunoscut ca cărămida lui Euler (sau blocul lui Euler) pentru un orthohedron care îndeplinește proprietatea că atât lungimea marginilor, cât și lungimea diagonalelor fiecărei fețe sunt întregi.

În timp ce Euler nu a fost primul om de știință care să studieze orthohedronele care îndeplinesc acea proprietate, el a găsit rezultate interesante despre ele.

Cea mai mică cărămidă Euler a fost descoperită de Paul Halcke, iar lungimile marginilor sale sunt a = 44, b = 117 și c = 240.

O problemă deschisă în teoria numerelor este următoarea

Există ortoedre perfecte?

În prezent, nu se poate răspunde la această întrebare, deoarece nu a fost posibil să se demonstreze că aceste organisme nu există, dar nici unul nu a fost găsit.

Ce sa arătat până acum este că există paralelipipede perfecte. Primul care va fi descoperit are lungimea valorilor marginilor 103, 106 și 271.

bibliografie

1. Guy, R. (1981). Probleme nerezolvate în teoria numerelor. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. Progresul.
3. Leithold, L. (1992). CALCULAREA cu geometrie analitică. HARLA, S.A.
4. Rendon, A. (2004). Desen tehnic: Cartea de activitate 3 a 2-a bacalaureat. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D. și Krane, K. (2001). Fizica Vol. 1. Mexic: Continental.