Metoda de interpolare liniară, Exerciții rezolvate

interpolare liniară este o metodă care provine din interpolarea generală a lui Newton și permite să determine prin aproximație o valoare necunoscută care se află între două numere date; că este, există o valoare intermediară. Se aplică, de asemenea, funcțiilor aproximative, unde valorile f_(A) și f_(B) ele sunt cunoscute și doriți să cunoașteți intermediarul f_(X).

Există diferite tipuri de interpolare, cum ar fi liniare, patrate, cubice și de grade mai mari, cea mai simplă fiind aproximarea liniară. Prețul care trebuie plătit cu interpolare liniară este că rezultatul nu va fi la fel de exact ca în cazul aproximărilor prin funcții de grade mai mari.

index

• 1 Definiție
• 2 Metoda
• 3 Exerciții rezolvate
  • 3.1 Exercițiul 1
  • 3.2 Exercițiul 2
• 4 Referințe

definiție

Interpolarea liniară este un proces care vă permite să deduceți o valoare între două valori bine definite, care pot fi într-un tabel sau într-un grafic liniar.

De exemplu, dacă știți că 3 litri de lapte sunt în valoare de 4 dolari și 5 litri sunt în valoare de 7 dolari, dar doriți să știți ce este de 4 litri de lapte, interpolați pentru a determina valoarea intermediară.

metodă

Pentru a estima o valoare intermediară a unei funcții, funcția f_(X) prin intermediul unei linii drepte r_(X), ceea ce înseamnă că funcția variază liniar cu "x" pentru o întindere "x = a" și "x = b"; adică pentru o valoare "x" în intervalul (x₀, x₁) și (și₀și₁), valoarea "y" este dată de linia dintre puncte și este exprimată prin următoarea relație:

(și - și₀) ÷ (x - x₀) = (și₁ - și₀) ÷ (x₁ - x₀)

Pentru ca o interpolare să fie liniară, este necesar ca polinomul de interpolare să fie de gradul unu (n = 1), astfel încât să se ajusteze la valorile lui x₀ și x_1.

Interpolarea liniară se bazează pe similitudinea triunghiurilor, astfel încât, obținând din punct de vedere geometric expresia anterioară, putem obține valoarea "y", care reprezintă valoarea necunoscută pentru "x".

O extrapolare este cea în care se presupune că intervalul de interpolare este x₀ ˂ x ˂ x_1, dacă este diferit de acest interval. Pornind de la ecuația liniei, care este: y = ax + b, unde "a" este un coeficient unghiular și "b" este un coeficient liniar - așa cum se arată în figură - se formează două triunghiuri cu o ipoteză dreaptă. Prin similitudinea triunghiurilor, trebuie să:

În acest fel trebuie să:

a = tan Ń = (partea opusă₁ ÷ piciorul adiacent₁) = (partea opusă₂ ÷ piciorul adiacent₂)

Exprimat diferit, este:

(și - și₀) ÷ (x - x₀) = (și₁ - și₀) ÷ (x₁ - x₀)

Clearing "și" ale expresiilor, aveți:

(și - și₀) _* (x₁ - x₀) = (x - x₀) _* (și₁ - și₀)

(și - și₀) = (și₁ - și₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Astfel, obținem ecuația generală pentru interpolarea liniară:

y = y_{0 +} (și₁ - și₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

În general, interpolarea liniară oferă o eroare mică asupra valorii reale a funcției adevărate, deși eroarea este minimă în comparație cu dacă alegeți intuitiv un număr apropiat de cel pe care doriți să-l găsiți.

Această eroare apare atunci când încercați să aproximați valoarea unei curbe cu o linie dreaptă; pentru aceste cazuri dimensiunea intervalului trebuie redusă pentru a face abordarea mai precisă.

Pentru rezultate mai bune în ceea ce privește abordarea, se recomandă utilizarea funcțiilor de grad 2, 3 sau chiar mai mari pentru a efectua interpolarea. Pentru aceste cazuri teorema lui Taylor este un instrument foarte util.

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1

Numărul de bacterii pe unitate de volum existente într-o incubație după x ore este prezentat în tabelul următor. Vreți să știți care este volumul de bacterii timp de 3,5 ore.

soluție

Tabela de referință nu stabilește o valoare care să indice cantitatea de bacterii pe o perioadă de 3,5 ore, dar să aibă valori mai mari și mai mici, corespunzătoare unui timp de 3 și respectiv 4 ore. În acest fel:

x₀ = 3 și₀ = 91

x = 3,5 y =?

x₁ = 4 și₁ = 135

Acum, ecuația matematică este aplicată pentru a găsi valoarea interpolată, care este următoarea:

y = y_{0 +} (și₁ - și₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)].

Apoi se înlocuiesc valorile corespunzătoare:

y = 91 + (135-91) _* [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)_* [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 _* 0,5

y = 113

Astfel, se obține că pentru o perioadă de 3,5 ore, numărul de bacterii este de 113, ceea ce reprezintă un nivel intermediar între volumul de bacterii existente la 3 și 4 ore.

Exercitarea 2

Luis are o fabrică de înghețată și vrea să facă un studiu pentru a determina venitul pe care la avut în luna august din cheltuielile efectuate. Managerul companiei face un grafic care exprimă această relație, dar Luis vrea să știe:

Care sunt veniturile pentru luna august, dacă a fost făcută o cheltuială de 55.000 de dolari?

soluție

Se prezintă un grafic cu valorile veniturilor și cheltuielilor. Luis vrea să știe ce înseamnă venitul din august dacă fabrica avea o cheltuială de 55.000 de dolari.Această valoare nu este reflectată direct în grafic, dar valorile mai mari și mai mici decât acestea sunt disponibile.

Mai întâi se face o tabelă în care să se compare valorile cu ușurință:

Acum, formula de interpolare este folosită pentru a determina valoarea y

y = y_{0 +} (și₁ - și₀) _* [(x - x₀) ÷ (x₁ - x₀)]

Apoi se înlocuiesc valorile corespunzătoare:

y = 56.000 + (78.000 - 56.000) _* [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) _* [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56.000 + (22.000) _* (0,588)

y = 56.000 + 12.936

y = 68.936 $.

Dacă o cheltuială de 55.000 dolari a fost făcută în august, venitul a fost de 68.936 dolari.

referințe

1. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
2. Harpe, P. d. (2000). Subiecte în teoria grupului geometric. Universitatea din Chicago Press.
3. Hazewinkel, M. (2001). Interpolarea liniară ", Enciclopedia de matematică.
4. , J. M. (1998). Elemente de metode numerice pentru inginerie. UASLP.
5. , E. (2002). O cronologie a interpolării: de la vechea astronomie până la procesarea modernă a semnalelor și imaginilor. Procesele IEEE.
6. numeric, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.