Istoria geometriei euclidiene, concepte și exemple de bază

Geometria eclidiană corespunde studiului proprietăților spațiilor geometrice în care axiomele Euclidului sunt satisfăcute. În timp ce acest termen este uneori folosit pentru a cuprinde geometrii care au dimensiuni superioare cu proprietăți similare, este de obicei sinonim cu geometria clasică sau geometria plat.

În secolul al III-lea a. C. Euclid și discipolii lui au scris element, o lucrare care a cuprins cunoștințele matematice ale timpului înzestrat cu o structură logică-deductivă. De atunci, geometria a devenit o știință, inițial pentru a rezolva problemele clasice și a evoluat într-o știință formativă care ajută rațiunea.

index

• 1 Istorie
• 2 Concepte de bază
  • 2.1 Noțiuni comune
  • 2.2 Postulate sau axiome
• 3 Exemple
  • 3.1 Primul exemplu
  • 3.2 Al doilea exemplu
  • 3.3 Exemplul 3
• 4 Referințe

istorie

Pentru a vorbi despre istoria geometriei euclidane, este esențial să începem cu Euclid din Alexandria și element.

Când Egiptul era în mâinile lui Ptolemeu I, după moartea lui Alexandru cel Mare, el și-a început proiectul într-o școală din Alexandria.

Printre înțelepții care au învățat în școală a fost Euclid. Se speculează că nașterea sa datează de la aproximativ 325 a. C. și moartea sa de 265 a. C. Putem ști cu certitudine că sa dus la școala lui Platon.

Timp de mai bine de treizeci de ani, Euclid a învățat în Alexandria, construindu-și faimoasele elemente: a început să scrie o descriere exhaustivă a matematicii timpului său. Învățăturile lui Euclid au produs discipoli excelenți, cum ar fi Arhimede și Apollonius din Perga.

Euclid a fost responsabil pentru structurarea descoperirilor disparate ale grecilor clasici din element, dar spre deosebire de predecesorii săi nu se limitează la a afirma că o teoremă este adevărată; Euclid oferă o demonstrație.

element Ele sunt un compendiu de 13 cărți. După Biblie, este cea mai publicată carte, cu mai mult de o mie de ediții.

element este capodopera lui Euclid în domeniul geometriei și oferă un tratament definitiv al geometriei a două dimensiuni (planul) și a trei dimensiuni (spațiu), aceasta fiind originea a ceea ce acum știm ca geometrie euclidiană.

Concepte de bază

Elementele sunt alcătuite din definiții, noțiuni comune și postulate (sau axiome) urmate de teoreme, construcții și demonstrații.

- Un punct este cel care nu are părți.

- O linie este o lungime care nu are lățime.

- O linie dreaptă este cea care se află în mod egal în raport cu punctele care sunt în ea.

- Dacă două linii sunt tăiate astfel încât unghiurile adiacente sunt egale, unghiurile sunt numite drept și liniile sunt numite perpendiculare.

- Linii paralele sunt cele care, fiind în același plan, nu sunt niciodată tăiate.

După aceste și alte definiții, Euclid prezintă o listă de cinci postulate și cinci noțiuni.

Noțiuni comune

- Două lucruri care sunt egale cu o treime, sunt egale unul cu celălalt.

- Dacă se adaugă lucruri egale la aceleași lucruri, rezultatele sunt aceleași.

- Dacă lucrurile egale sunt scăzute lucruri egale, rezultatele sunt aceleași.

- Lucrurile care coincid între ele sunt egale una cu cealaltă.

- totalul este mai mare decât o parte.

Postulate sau axiome

- Pentru două puncte diferite, trece o singură linie.

- Linii drepte se pot extinde pe o perioadă nedeterminată.

- Puteți desena un cerc cu orice centru și orice rază.

- Toate unghiurile potrivite sunt aceleași.

- Dacă o linie dreaptă traversează două linii drepte, astfel încât unghiurile interne ale aceleiași laturi să ajungă la mai puțin de două unghiuri drepte, atunci cele două linii se vor intersecta pe acea parte.

Acest ultim postulat este cunoscut ca postulatul paralelelor și a fost reformulat după cum urmează: "Pentru un punct în afara unei linii, puteți desena o singură paralelă cu linia dată".

Exemple

Apoi, unele teoreme ale element ele vor servi pentru a arăta proprietățile spațiilor geometrice unde sunt îndeplinite cele cinci postulate ale lui Euclid; În plus, ele vor ilustra raționamentul logic-deductiv folosit de acest matematician.

Primul exemplu

Propunerea 1.4. (LAL)

Dacă două triunghiuri au două laturi și unghiul dintre ele egal, atunci celelalte părți și celelalte unghiuri sunt egale.

spectacol

Fie ABC și A'B'C 'două triunghiuri cu AB = A'B', AC = A'C 'și unghiurile BAC și B'A'C' egale. Să trecem la triunghiul A'B'C, astfel încât A'B 'să coincidă cu AB și acest unghi B'A'C să coincidă cu unghiul BAC.

Apoi, linia A'C 'coincide cu linia AC, astfel că C' coincide cu C. Apoi, prin postulatul 1, linia BC trebuie să coincidă cu linia B'C '. Prin urmare, cele două triunghiuri coincid și, în consecință, unghiurile și laturile lor sunt egale.

Al doilea exemplu

Propunerea 1.5. (Pons Asinorum)

Dacă un triunghi are două laturi egale, atunci unghiurile opuse acelor laturi sunt egale.

spectacol

Să presupunem că triunghiul ABC are laturi egale AB și AC.

Să desenați bisectorul unghiului BAC și să lăsați D să fie punctul în care bisectorul se taie în partea BC.

Apoi, triunghiurile ABD și ACD au două laturi egale, iar unghiurile dintre ele sunt egale. Astfel, prin propunerea 1.4, unghiurile ABD și ACD sunt egale.

Al treilea exemplu

Propunerea 1.31

Puteți construi o linie paralelă cu o linie dată de un anumit punct.

construcție

Având o linie L și un punct P, se trasează o linie dreaptă M care trece prin P și taie în L. Apoi, o linie N este trasă prin P care taie la L. Acum, o linie dreaptă N care taie la M este reprezentată de P, formând un unghi egal cu cel pe care L îl formează cu M.

afirmare

N este paralelă cu L.

spectacol

Să presupunem că L și N nu sunt paralele și se intersectează la un punct A. Fie B un punct în L dincolo de A. Considerăm linia O care trece prin B și P. Apoi, O taie unghiurile de formare M care adaugă mai puțin decât două drepte.

Apoi, cu 1,5, linia O trebuie să se taie la linia L de cealaltă parte a lui M, deci L și O se intersectează la două puncte, ceea ce contrazice postulatul 1. De aceea L și N trebuie să fie paralele.

referințe

1. Euclid. Elemente de geometrie. Universitatea Autonomă Națională din Mexic
2. Euclides. Primele șase cărți și elementele unsprezece și a douăsprezecea ale lui Euclid
3. Eugenio Filloy Yague. Didactica și istoria geometriei euclidane. Grupul editorial Iberoamerican
4. K.Ribnikov. Istoria matematicii Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Geometrie analitică plană. Editorial Venezuelan C.A.