Aditivi aplicații de descompunere, partiții, grafică



aditiv a unui număr întreg pozitiv este să-l exprimi ca o sumă de două sau mai multe numere întregi pozitive. Astfel, numărul 5 poate fi exprimat ca 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 sau 5 = 1 + 2 + 2. Fiecare dintre aceste moduri de a scrie numărul 5 este ceea ce numim descompunere aditivă.

Dacă ne acordăm atenție, putem observa că expresiile 5 = 2 + 3 și 5 = 3 + 2 reprezintă aceeași compoziție; ambele au aceleași numere. Cu toate acestea, din motive de conveniență, fiecare dintre addende este scris, de obicei, după criteriul de la cel mai mic la cel mai mare.

index

  • 1 descompunere aditiv
  • 2 descompunere canonică a aditivilor
  • 3 Aplicații
    • 3.1 Teorema de exemplu
  • 4 partiții
    • 4.1 Definiție
  • 5 Grafica
  • 6 Referințe

Descompunerea aditivilor

Ca un alt exemplu putem lua numărul 27, pe care îl putem exprima ca:

27=  7+10+10

27=  9+9+9

27=   3+6+9+9

27= 9+18

Descompunerea aditivului este un instrument foarte util care ne permite să ne consolidăm cunoștințele despre sistemele de numerotare.

Aditivarea descompunerii canonice

Când avem numere de mai mult de două cifre, o modalitate particulară de descompunere a acestora este în multiplii de 10, 100, 1000, 10 000 etc., care o fac. Acest mod de a scrie orice număr se numește descompunere canonică. De exemplu, numărul 1456 poate fi defalcat după cum urmează:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Dacă avem numărul 20 846 295, descompunerea canonică a aditivului va fi:

20 846 295= 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Datorită acestei descompuneri, putem vedea că valoarea unei cifre date este dată de poziția pe care o ocupă. Luați numerele 24 și 42 ca exemplu:

24= 20 + 4

42= 40 +2

Aici putem observa că în 24 numărul 2 are o valoare de 20 de unități, iar valoarea 4 este de 4 unități; în schimb, în ​​42, numărul 4 are o valoare de 40 de unități și cele două două unități. Astfel, deși ambele numere utilizează aceleași cifre, valorile lor sunt complet diferite de poziția pe care o ocupă.

aplicații

Una dintre aplicațiile pe care le putem da descompunerii aditivilor este în anumite tipuri de demonstrații, în care este foarte util să vedem un număr întreg pozitiv ca sumă a altora.

Exemplu de teoremă

Să luăm ca exemplu următoarea teoremă cu demonstrațiile sale respective.

- Fie Z un număr întreg de patru cifre, atunci Z este divizibil cu 5 dacă numărul său corespunzător unităților este zero sau cinci.

spectacol

Amintiți-vă ce este divizibilitatea. Dacă avem numere "a" și "b", spunem că "a" împarte "b" dacă există un întreg "c" astfel încât b = a * c.

Una dintre proprietățile divizibilității ne spune că dacă "a" și "b" sunt divizibile prin "c", atunci scăderea "a-b" este divizibilă de "c".

Fie Z un număr întreg de patru cifre; prin urmare, putem scrie Z ca Z = ABCD.

Folosind descompunerea canonică a aditivului avem următoarele:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Este clar că A * 1000 + B * 100 + C * 10 este divizibil cu 5. Pentru acest lucru avem Z că divizibil cu 5 dacă Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) este divizibil cu 5.

Dar Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D și D este un număr dintr-o singură figură, astfel încât singura modalitate prin care este divizibilă de 5 este că este 0 sau 5.

Prin urmare, Z este divizibil cu 5 dacă D = 0 sau D = 5.

Rețineți că dacă Z are n cifre, dovada este exact aceeași, modifică doar faptul că acum am scrie Z = A1A2... An iar scopul ar fi acela de a dovedi că An Este zero sau cinci.

partiții

Spunem că o partiție a unui întreg pozitiv este o modalitate prin care putem scrie un număr ca sumă de numere întregi pozitive.

Diferența dintre o descompunere aditivă și o partiție este că, în timp ce în prima este căutată ca cel puțin să se poată descompune în două sau mai multe addende, în partiție nu există o astfel de restricție.

Deci, avem urmatoarele:

5=5

5= 1+4

5= 2+3

5= 1+2+2

Cele de mai sus sunt partiții de 5.

Asta înseamnă că avem toată descompunerea aditivilor o partiție, dar nu fiecare partiție este în mod necesar o descompunere aditivă.

În teoria numerelor, teorema fundamentală a aritmeticii garantează că fiecare număr întreg poate fi scris în mod unic ca produs al primelor.

Când studiați partițiile, obiectivul este de a determina câte moduri puteți scrie un număr întreg pozitiv ca sumă de alte numere întregi. Prin urmare, definim funcția de partiție prezentată mai jos.

definiție

Funcția de partiție p (n) este definită ca numărul de moduri în care un întreg pozitiv n poate fi scris ca o sumă de numere întregi pozitive.

Revenind la exemplul din 5, trebuie:

5=5

5= 1+4

5= 2+3

5= 1+1+3

5= 1+2+2

5= 1+1+1+2

5= 1+1+1+1+1

În acest fel, p (5) = 7.

grafic

Atât partițiile cât și descompunerile aditive ale unui număr n pot fi reprezentate geometric. Să presupunem că avem o descompunere aditivă a n. În această descompunere, addendele pot fi aranjate astfel încât membrii sumei să fie ordonați de la cel mai mic la cel mai înalt. Apoi merită:

n = a1 + a2 + a3 + ... + ar cu

la1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ ... ≤ ar.

Putem descrie această descompunere în felul următor: în primul rând se marchează1-poate, apoi în următoarea notă2- puncte, și așa mai departe până când ajungeți lar.

Luați numărul 23 și următoarea sa descompunere ca exemplu:

23= 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Ordonăm această descompunere și avem:

23= 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Graficul său corespunzător ar fi:

De asemenea, dacă citim graficul menționat vertical în loc de orizontală, putem obține o descompunere care poate fi diferită de cea anterioară. În exemplul din 23 se evidențiază următoarele:

Deci, trebuie să 23 putem scrie, de asemenea, ca:

23 = 6 + 5 + 5 + 3 + 2 + 1 + 1.

referințe

  1. G.H. Hardy și E. M. Wright. Introducere în teoria numerelor. Oxford. Clarendon Press.
  2. Navarro C. Enciclopedie didactică 6. Editorial Santillana, S.A.
  3. Navarro C.Legătura cu matematica 6. Editorial Santillana, S.A.
  4. Niven & Zuckerman. Introducere în teoria numerelor. Limusa.
  5. Evaluarea VV.AA Criteriul ariei matematice: Un model pentru învățământul primar. Wolters Kluwer Educație.
  6. Enciclopedie didactică 6.