Acțiune:
Derivați succesivi (cu exerciții rezolvate)
succesive derivate sunt derivații unei funcții după al doilea derivat. Procesul de calcul al derivatelor succesive este următorul: avem o funcție f, pe care o putem obține și obținem astfel funcția derivată f '. La acest derivat de f putem extrage din nou, obținând (f ')'.
Această nouă funcție este denumită derivat secundar; toate derivatele calculate din al doilea sunt succesive; Acestea, numite și ordine superioare, au aplicații deosebite, cum ar fi furnizarea de informații despre graficul grafic al unei funcții, al doilea test derivat pentru extreme relativ și determinarea seriilor infinite.
index
- 1 Definiție
- 1.1 Exemplul 1
- 1.2 Exemplul 2
- 2 Viteză și accelerare
- 2.1 Exemplul 1
- 2.2 Exemplul 2
- 3 Aplicații
- 3.1 Derivarea derivată
- 3.2 Exemplu
- 3.3 Scopuri relative
- 3.4 Exemplu
- 3.5 Seria Taylor
- 3.6 Exemplu
- 4 Referințe
definiție
Folosind notația Leibniz, avem că derivatul unei funcții "y" în raport cu "x" este dy / dx. Pentru a exprima al doilea derivat al "și" folosind notația Leibniz, scriem după cum urmează:
În general, putem să exprimăm derivații succesivi după cum urmează cu notația Leibniz, unde n reprezintă ordinea derivatului.
Alte notații utilizate sunt următoarele:
Câteva exemple în care putem vedea diferitele notații sunt:
Exemplul 1
Obțineți toți derivații funcției f definite de:
Folosind tehnicile obișnuite de derivare, avem că derivatul lui f este:
Prin repetarea procesului putem obține al doilea derivat, al treilea derivat și așa mai departe.
Rețineți că al patrulea derivat este zero și derivatul zero este zero, deci trebuie să:
Exemplul 2
Calculați al patrulea derivat al următoarei funcții:
Derivând funcția dată, rezultă:
Viteză și accelerare
Una dintre motivațiile care au condus la descoperirea derivatului a fost căutarea definiției vitezei instantanee. Definiția formală este următoarea:
Fie y = f (t) o funcție a cărei grafic descrie traiectoria unei particule într-un moment T, atunci viteza la o t instant este dată de:
Odată ce viteza unei particule este obținută, putem calcula accelerația instantanee, care este definită după cum urmează:
Accelerația instantanee a unei particule a cărei cale este dată de y = f (t) este:
Exemplul 1
O particulă se mișcă pe o linie în funcție de funcția de poziție:
Unde y este măsurat în metri și "t" în secunde.
- În ce moment este viteza 0?
- În ce moment este accelerația lui 0?
Când derivăm funcția de poziție "și" avem că viteza și accelerația ei sunt date de:
Pentru a răspunde la prima întrebare, este suficient să se determine când funcția v devine zero; acesta este:
Continuăm cu următoarea întrebare în mod analog:
Exemplul 2
O particulă se mișcă pe o linie în conformitate cu următoarea ecuație de mișcare:
Determinați "t, y" și "v" atunci când a = 0.
Știind că viteza și accelerația sunt date de
Noi continuăm să obținem și obținem:
Făcând a = 0, avem:
Din care putem deduce că valoarea lui t pentru a este egală cu zero este de t = 1.
Apoi, evaluând funcția de poziție și funcția de viteză la t = 1, trebuie să:
aplicații
Diferențierea derivată
Derivații succesivi pot fi de asemenea obținuți prin derivare implicită.
exemplu
Având în vedere următoarea elipsă, găsiți "și":
Derivând implicit cu privire la x, avem:
Apoi, revenind implicit cu privire la x, ne dă:
În cele din urmă, avem:
Legaturile relative
O altă utilizare pe care o putem da derivatelor de ordinul doi este calculul capetelor relative ale unei funcții.
Criteriul primului derivat pentru extremele locale ne spune că, dacă avem o funcție f continuă într-un interval (a, b) și există un c care aparține acelui interval astfel încât f 'este anulat în c (adică c este un punct critic), poate apărea unul din aceste trei cazuri:
Dacă f '(x)> 0 pentru orice x aparținând (a, c) și f' (x) <0 pentru x aparținând (c, b), atunci f (c) este un maxim local.
Dacă f '(x) <0 pentru orice x aparținând (a, c) și f' (x)> 0 pentru x aparținând (c, b), atunci f (c) este un minim local.
- Dacă f '(x) are același semnal (a, c) și în (c, b), înseamnă că f (c) nu este un efect final local.
Folosind criteriul celui de-al doilea derivat, putem ști dacă un număr critic al unei funcții este un maxim sau un minim local, fără a trebui să vedem ce înseamnă semnul funcției în intervalele menționate mai sus.
Al doilea criteriu derivat ne spune că dacă f '(c) = 0 și f "(x) este continuă în (a, b), se întâmplă că dacă f" (c)> 0 atunci f (c) minim local și dacă f "(c) <0 atunci f (c) este un maxim local.
Dacă f "(c) = 0, nu putem încheia nimic.
exemplu
Având în vedere funcția f (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2, găsiți maximele și minimele relative ale f prin aplicarea criteriului celui de-al doilea derivat.
Mai întâi calculează f '(x) și f' (x) și avem:
f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x
f "(x) = 12x2 + 8x - 8
Acum, f '(x) = 0 dacă și numai dacă 4x (x + 2) (x - 1) = 0, iar acest lucru se întâmplă când x = 0, x = 1 sau x = - 2.
Pentru a determina daca numerele critice obtinute sunt extreme extreme este suficient sa se evalueze in f "si astfel sa se respecte semnul ei.
f "(0) = - 8, deci f (0) este un maxim local.
f "(1) = 12, deci f (1) este un minim local.
f "(- 2) = 24, deci f (- 2) este un minim local.
Seria Taylor
Fie f o funcție definită după cum urmează:
Această funcție are o rază de convergență R> 0 și are derivații tuturor ordinelor în (-R, R). Derivații succesivi ai lui f ne dau:
Luând x = 0, putem obține valorile lui cn pe baza derivatelor sale, după cum urmează:
Dacă luăm n = 0 ca funcția f (adică f ^ 0 = f), atunci putem rescrie funcția după cum urmează:
Acum ia în considerare funcția ca o serie de puteri în x = a:
Dacă efectuăm o analiză analoagă celei precedente, ar trebui să scriem funcția f ca:
Aceste serii sunt cunoscute sub numele de seria Taylor a f. Atunci când a = 0 avem cazul special care se numește seria Maclaurin. Acest tip de serie are o mare importanță matematică, mai ales în analiza numerică, deoarece datorită acestora putem defini funcții în computere, cum ar fix , sin (x) și cos (x).
exemplu
Obțineți seria Maclaurin pentru ex.
Rețineți că dacă f (x) = exapoi f(N)(x) = ex și f(N)(0) = 1, motiv pentru care seria lui Maclaurin este:
referințe
- Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). Calculul calculat Mc Graw Hill.
- Leithold, L. (1992). CALCULAREA cu geometrie analitică. HARLA, S.A.
- Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). Calcul. Mexic: Pearson Education.
- Saenz, J. (2005). Calcul diferențial. Ipotenuză.
- Saenz, J. (s.f.). Calculul integrat. Ipotenuză.