Derivații algebrici (cu exemple)

algebrice derivate ele constau în studiul derivatului în cazul particular al funcțiilor algebrice. Originea noțiunii de derivat se întoarce în Grecia Antică. Dezvoltarea acestei noțiuni a fost motivată de necesitatea de a rezolva două probleme importante, una în fizică și cealaltă în matematică.

În fizică, derivatul rezolvă problema determinării vitezei instantanee a unui obiect în mișcare. În matematică, puteți găsi linia tangentă la o curbă la un anumit punct.

Deși într-adevăr există mai multe probleme care sunt rezolvate prin utilizarea derivatului, precum și generalizările acestuia, rezultatele care au apărut ulterior la introducerea conceptului său.

Pionierii calculului diferențial sunt Newton și Leibniz. Înainte de a da o definiție formală, vom dezvolta ideea din spatele ei, din punct de vedere matematic și fizic.

index

• 1 Derivatul ca panta liniei tangente la o curba
• 2 Derivatul ca viteză instantanee a unui obiect în mișcare
  • 2.1 Funcția algebrică
• 3 Reguli derivare
  • 3.1 Derivat dintr-o constantă
  • 3.2 Derivarea unei puteri
  • 3.3 Derivează din adunare și scădere
  • 3.4 Derivatul unui produs
  • 3.5 derivat dintr-un coeficient
  • 3.6 Regulă a lanțului
• 4 Referințe

Derivatul ca panta liniei tangente la o curba

Să presupunem că graficul unei funcții y = f (x) este un grafic continuu (fără vârfuri sau vârfuri sau separări) și permiteți A = (a, f (a)) să fie un punct fix pe acesta. Vrem să găsim ecuația liniei tangente la graficul funcției f de la punctul A.

Luați un alt punct P = (x, f (x)) al graficului, apropiat de punctul A și trageți linia secant care trece prin A și P. O linie secantă este o linie care taie graficul unei curbe într-o sau mai multe puncte.

Pentru a obține linia tangentă pe care o dorim, trebuie doar să calculam pantă deoarece avem deja un punct pe linie: punctul A.

Dacă mutăm punctul P de-a lungul graficului și îl apropiem mai mult de punctul A, linia secantă menționată anterior se va apropia de linia tangentă pe care o dorim să o găsim. Luând limita atunci când "P tinde la A", ambele linii vor coincide, de aceea și pantele sale.

Panta liniei secante este dată de

A spune că P se apropie de A este echivalent cu a spune că "x" se apropie de "a". Astfel, panta liniei tangente la graficul lui f la punctul A va fi egală cu:

Expresia de mai sus este notată cu f '(a) și este definită ca derivată a unei funcții f la punctul "a". Vedem deci că analitic, derivatul unei funcții într-un punct este o limită, dar geometric este panta liniei tangente la graficul funcției din punct.

Acum vom vedea această noțiune din punct de vedere al fizicii. Vom ajunge la aceeași expresie a limitei anterioare, deși într-un mod diferit, obținem unanimitatea definiției.

Derivatul ca viteză instantanee a unui obiect în mișcare

Să vedem un scurt exemplu al vitezei instantanee. Când se spune, de exemplu, că o mașină pentru a ajunge la o destinație a făcut-o la o viteză de 100 km pe oră, ceea ce înseamnă că într-o oră a parcurs 100 km.

Acest lucru nu înseamnă neapărat că în timpul întregii ore mașina era întotdeauna la 100 km distanță, vitezometrul mașinii putea, în anumite momente, să marcheze mai puțin sau mai mult. Dacă avea nevoie să se oprească la un semafor, viteza în acel moment era de 0 km. Cu toate acestea, după o oră, traseul era de 100 km.

Aceasta este ceea ce se numește viteză medie și este dat de coeficientul distanței parcursă între timpul scurs, așa cum tocmai am văzut. Viteza instantanee, pe de altă parte, este cea care marchează acul vitezometrului unei mașini într-un moment determinat (timp).

Să ne uităm la asta acum mai general. Să presupunem că un obiect se deplasează de-a lungul unei linii și că această deplasare este reprezentată prin intermediul ecuației s = f (t), unde variabila t măsoară timpul și variabila s deplasarea, luând în considerare începutul momentul t = 0, moment în care este de asemenea zero, adică, f (0) = 0.

Această funcție f (t) este cunoscută ca o funcție de poziție.

O expresie este căutată pentru viteza instantanee a obiectului la un moment fix "a". La această viteză îl vom denumi cu V (a).

Fie t orice moment aproape de momentul "a". În intervalul de timp dintre "a" și "t", schimbarea poziției obiectului este dată de f (t) -f (a).

Viteza medie în acest interval de timp este:

Care este o aproximare a vitezei instantanee V (a). Această aproximare va fi mai bună pe măsură ce t se apropie mai mult de "a". Prin urmare,

Observați că această expresie este egală cu cea obținută în cazul precedent, dar dintr-o perspectivă diferită. Aceasta este ceea ce este cunoscut ca derivat al unei funcții f la un punct "a" și notat cu f '(a), așa cum este menționat mai sus.

Rețineți că, făcând schimbarea h = x-a, avem atunci când "x" tinde la "a", "h" tinde la 0 și limita anterioară este transformată (într-un mod echivalent)

Ambele expresii sunt echivalente, dar uneori este mai bine să folosiți unul în locul celuilalt, în funcție de caz.

Derivatul unei funcții f este apoi definit mai general în orice punct "x" aparținând domeniului său ca fiind

Cea mai obișnuită notație de a reprezenta derivatul unei funcții y = f (x) este cea pe care tocmai am văzut (f 'o și'). Cu toate acestea, o altă notație pe scară largă este notația Leibniz care este reprezentată ca oricare dintre următoarele expresii:

Întrucât derivatul este în esență o limită, poate sau nu poate exista, deoarece limitele nu există întotdeauna. Dacă există, se spune că funcția în cauză este diferențiată la punctul dat.

Funcția algebrică

O funcție algebrică este o combinație de polinoame prin sume, subtracții, produse, coeficienți, puteri și radicali.

Un polinom este o expresie a formei

P_n= a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1+ a_N-2x^N-2+ ... + a₂x²+ a₁x + a₀

Unde n este un număr natural și toate a_eu, cu i = 0,1, ..., n, sunt numere raționale și a_n≠ 0 În acest caz, se spune că gradul acestui polinom este n.

Următoarele sunt exemple de funcții algebrice:

Aici nu sunt incluse funcțiile exponențiale, logaritmice și trigonometrice. Regulile de derivare pe care le vom vedea mai jos sunt valabile pentru funcții în general, dar ne vom limita și vom aplica în cazul funcțiilor algebrice.

Reguli de derivare

Derivată dintr-o constantă

Se stabilește că derivatul unei constante este zero. Asta este, dacă f (x) = c, atunci f '(x) = 0. De exemplu, derivatul funcției constante 2 este egal cu 0.

Derivat de la o putere

Dacă f (x) = xⁿ, atunci f '(x) = nx^n-1. De exemplu, derivatul lui x³ Este de 3 ori². În consecință, obținem că derivatul funcției de identitate f (x) = x este f '(x) = 1x^1-1= x⁰=1.

Un alt exemplu este următorul: f (x) = 1 / x², atunci f (x) = x^-2 și f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Această proprietate este, de asemenea, rădăcini valabile, deoarece rădăcinile sunt puteri raționale și puteți aplica cele de mai sus și în acest caz. De exemplu, derivatul unei rădăcini pătrate este dat de

Derivat dintr-o sumă și o scădere

Dacă f și g sunt funcții diferențiate în x, atunci suma f + g este de asemenea diferită și este adevărat că (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

În mod analog, avem că (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). Cu alte cuvinte, derivatul unei sume (scădere) este suma (sau scăderea) derivatelor.

exemplu

Dacă h (x) = x²+ x-1, atunci

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Derivate dintr-un produs

Dacă f și g sunt funcții diferențiate în x, atunci produsul fg este de asemenea diferențiat în x și este îndeplinit

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Consecința este că dacă c este o constantă și f este o funcție diferențiabilă în x, atunci cf este și ea diferențiabilă în x și (cf) '(x) = cf' (X).

exemplu

Dacă f (x) = 3x (x²+1), atunci

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²)'+(1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) + 0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+ 3 + 6x²

= 9x²+3.

Derivat dintr-un coeficient

Dacă f și g sunt diferențiate în x și g (x) ≠ 0, atunci f / g este de asemenea diferențiat în x, și este adevărat că

exemplu: dacă h (x) = x³/ (x²-5x), atunci

h '(x) = [(x³) '(x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5x)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5x)².

Regula lanțului

Această regulă permite derivarea compoziției funcțiilor. Se stabilește următoarele: dacă y = f (u) este diferențiabil în u, yu = g (x) este diferențiabil în x, atunci funcția compusă f (g (x)) este diferențiabilă în x, g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Aceasta este derivatul unei funcții compuse este produsul derivatului funcției externe (derivat extern) prin derivatul funcției interne (derivat intern).

exemplu

Dacă f (x) = (x⁴-2x)³, atunci

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(x⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Există, de asemenea, rezultate pentru a calcula derivatul invers al unei funcții, precum și generalizarea la derivate de ordin superior. Aplicațiile sunt extinse. Printre acestea, ele evidențiază utilitățile lor în probleme de optimizare și funcții maxime și minime.

referințe

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Calcul diferențial. ITM.
2. Cabrera, V. M. (1997). Calcul 4000. Progresul editorial.
3. Castaño, H. F. (2005). Matematică înainte de calcul. Universitatea din Medellin.
4. Eduardo, N. A. (2003). Introducere în calcul. Praguri ediții.
5. Surse, A. (2016). MATEMATICĂ DE BAZĂ. O introducere în calcul Lulu.com.
6. Purcell, E.J., Rigdon, S.E., & Varberg, D.E. (2007). Calcul. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Calcul diferențial (Ediția a doua). Barquisimeto: Hipotensie.
8. Thomas, G. B. și Weir, M. D. (2006). Calcul: mai multe variabile. Pearson Education.