Care este suma pătrată a două numere consecutive?

Să știi care este suma pătratelor a două numere consecutive, puteți găsi o formulă, cu care este suficient să înlocuiți numerele implicate pentru a obține rezultatul.

Această formulă poate fi găsită într-un mod general, adică poate fi utilizată pentru orice pereche de numere consecutive.

Când spunem "numere consecutive", se spune implicit că ambele numere sunt numere întregi. Și vorbind despre "pătrate" se referă la pătrat fiecare număr.

De exemplu, dacă se iau în considerare numerele 1 și 2, pătratele lor sunt 1 2 = 1 și 2 2 = 4, prin urmare, suma pătratelor este 1 + 4 = 5.

Pe de altă parte, dacă se iau numerele 5 și 6, pătratele lor sunt 5 ² = 25 și 6 ² = 36, astfel încât suma pătratelor este 25 + 36 = 61.

Care este suma pătratelor a două numere consecutive?

Obiectivul este acum generalizarea a ceea ce sa făcut în exemplele anterioare. Pentru aceasta este necesar să se găsească un mod general de a scrie un număr întreg și întregul său consecutiv.

Dacă se observă două întregi consecutive, de exemplu 1 și 2, se poate observa că 2 poate fi scrisă ca 1 + 1. De asemenea, dacă ne uităm la numerele 23 și 24, concluzionăm că 24 poate fi scris ca 23 + 1.

Pentru numere întregi negative, acest comportament poate fi, de asemenea, verificat. De fapt, dacă luați în considerare -35 și -36, puteți vedea că -35 = -36 + 1.

Prin urmare, dacă este ales un întreg "n", atunci întregul consecutiv la "n" este "n + 1". Astfel, o relație între două numere consecutive a fost deja stabilită.

Care este suma pătratelor?

Având două numere consecutive "n" și "n + 1", atunci pătratele lor sunt "n²" și "(n + 1) ²". Folosind proprietățile produselor notabile, acest ultim termen poate fi scris după cum urmează:

(n + 1) 2 = n 2 + 2 * n * 1 + 1 2 = n 2 + 2n + 1.

În cele din urmă, suma pătratelor celor două numere consecutive este dată de expresia:

n 2 + n 2 + 2n + 1 = 2n 2 + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.

Dacă formula anterioară este detaliată, se poate observa că este suficient să cunoaștem cel mai mic întreg "n" pentru a ști care este suma pătratelor, adică este suficient să folosim cel mai mic dintre cele două numere întregi.

O altă perspectivă a formulei obținute este: numerele alese sunt înmulțite, apoi rezultatul obținut este înmulțit cu 2 și în final se adaugă 1.

Pe de altă parte, primul summand pe dreapta este un număr par, și când adăugați 1 rezultatul va fi ciudat. Acest lucru spune că rezultatul adăugării pătratelor a două numere consecutive va fi întotdeauna un număr impar.

De asemenea, se poate observa că, din moment ce se adaugă două numere pătrat, atunci acest rezultat va fi întotdeauna pozitiv.

Exemple

1.- Luați în considerare numerele întregi 1 și 2. Cel mai mic întreg este 1. Folosind formula de mai sus, concluzionăm că suma pătratelor este: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 1 = 5. Care este de acord cu conturile făcute la început.

2.- Dacă se iau întregi 5 și 6, atunci suma pătratelor va fi 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, care coincide și cu rezultatul obținut la început.

3.- Dacă sunt alese întregurile -10 și -9, atunci suma pătratelor lor este: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Fie întregi în această oportunitate -1 și 0, atunci suma pătratelor lor este dată de 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

referințe

1. Bouzas, P. G. (2004). Algebra în secundar: lucrare de cooperare în matematică. Narcea Ediții.
2. Cabello, R. N. (2007). Puteri și rădăcini. Publicatuslibros.
3. Cabrera, V. M. (1997). Calcul 4000. Progresul editorial.
4. Guevara, M. H. (s.f.). Setul numerelor întregi. EUNED.
5. Oteyza, E. d. (2003). Albegra. Pearson Education.
6. Smith, S. A. (2000). Algebra. Pearson Education.
7. Thomson. (2006). Trecerea la GED: matematică. InterLingua Publishing.