Acțiune:
Tehnici, aplicații și exemple de numărare tehnică
tehnici de numărare sunt o serie de metode de probabilitate pentru numărarea numărului posibil de aranjamente dintr-un set sau mai multe seturi de obiecte. Acestea sunt folosite atunci când conturile devin complicate manual, din cauza numărului mare de obiecte și / sau variabile.
De exemplu, soluția la această problemă este foarte simplă: imaginați-vă că șeful dvs. vă cere să numărați ultimele produse care au sosit în ultima oră. În acest caz, puteți merge și numărați produsele unul câte unul.
Cu toate acestea, imaginați-vă că problema este aceasta: șeful dvs. vă cere să numărați câte grupuri de 5 produse de același tip se pot forma cu cei care au ajuns în ultima oră. În acest caz, calculul este complicat. Pentru acest tip de situație se folosesc așa-numitele tehnici de numărare.
Aceste tehnici sunt mai multe, dar cele mai importante sunt împărțite în două principii de bază, care sunt multiplicativ și aditiv; permutări și combinații.
index
- 1 principiu multiplicator
- 1.1 Aplicații
- 1.2 Exemplu
- 2 Principiul aditivului
- 2.1 Aplicații
- 2.2 Exemplu
- 3 Permutări
- 3.1 Aplicații
- 3.2 Exemplu
- 4 Combinații
- 4.1 Aplicații
- 4.2 Exemplu
- 5 Referințe
Principiu multiplicativ
aplicații
Principiul multiplicativ, împreună cu aditivul, sunt esențiale pentru a înțelege funcționarea tehnicilor de numărare. În cazul multiplicatorului, acesta constă în următoarele:
Imaginați-vă o activitate care implică un anumit număr de pași (totalul este marcat ca "r"), unde primul pas poate fi făcut din formele N1, a doua etapă a lui N2 și pasul "r" al formularelor Nr. În acest caz, activitatea poate fi efectuată din numărul de formulare rezultate din această operație: N1 x N2 x ... .x Formulare Nr
Acesta este motivul pentru care acest principiu este numit multiplicator și implică faptul că fiecare dintre pașii necesari pentru desfășurarea activității trebuie făcut unul după altul.
exemplu
Să ne imaginăm o persoană care dorește să construiască o școală. Pentru a face acest lucru, considerați că baza clădirii poate fi construită în două moduri diferite: ciment sau beton. În ceea ce privește pereții, ele pot fi făcute din adobe, ciment sau cărămidă.
În ceea ce privește acoperișul, acesta poate fi construit din ciment sau tablă galvanizată. În cele din urmă, pictura finală se poate face numai într-un fel. Întrebarea care apare este următoarea: Câte moduri are școala să construiască?
În primul rând, considerăm numărul de pași, care ar fi baza, pereții, acoperișul și pictura. În total, 4 pași, deci r = 4.
Următorul lucru ar fi să enumerăm N:
N1 = moduri de a construi baza = 2
N2 = moduri de a construi pereții = 3
N3 = moduri de a face acoperișul = 2
N4 = moduri de a face vopsea = 1
Prin urmare, numărul de forme posibile ar fi calculat prin formula descrisă mai sus:
N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 moduri de a face școală.
Principiul aditivului
aplicații
Acest principiu este foarte simplu și constă în faptul că, în cazul mai multor alternative existente pentru a desfășura aceeași activitate, formele posibile constau în suma diferitelor modalități posibile de realizare a tuturor alternativelor.
Cu alte cuvinte, dacă dorim să realizăm o activitate cu trei alternative, unde prima alternativă se poate face în formele M, cea de-a doua în formulele N și ultima în formele W, activitatea se poate face în: formele M + N + ... + W .
exemplu
Imaginați-vă de data aceasta o persoană care dorește să cumpere o rachetă de tenis. Pentru aceasta, are trei branduri de a alege: Wilson, Babolat sau Head.
Când merge la magazin, vede că racheta Wilson poate fi cumpărată cu mânerul a două dimensiuni diferite, L2 sau L3, în patru modele diferite și poate fi strâns sau fără șnururi.
Racheta Babolat, pe de altă parte, are trei mânere (L1, L2 și L3), există două modele diferite și poate fi și strâns sau fără șnururi.
Rachetul de cap, pe de altă parte, are doar un singur mâner, modelul L2, în două modele diferite și numai fără șnururi. Întrebarea este: Câte moduri are această persoană să-și cumpere racheta?
M = numărul de moduri de selectare a unei rachete Wilson
N = Număr de moduri de selectare a unei rachete Babolat
W = Număr de moduri de selectare a unei Rachete Head
Facem principiul multiplicării:
M = 2 x 4 x 2 = 16 formulare
N = 3 x 2 x 2 = 12 formulare
W = 1 x 2 x 1 = 2 forme
M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 moduri de a alege o rachetă.
Pentru a ști când să utilizați principiul multiplicativ și aditivul, trebuie doar să analizați dacă activitatea are o serie de măsuri care trebuie întreprinse și, dacă există mai multe alternative, aditivul.
permutări
aplicații
Pentru a înțelege ce este o permutare, este important să explicăm ce este o combinație pentru a le diferenția și a ști când să le folosiți.
O combinație ar fi un aranjament de elemente în care nu ne interesează poziția pe care o ocupă fiecare dintre ei.
O permutare, pe de altă parte, ar fi un aranjament de elemente în care suntem interesați de poziția pe care o ocupă fiecare dintre ei.
Să dăm un exemplu pentru a înțelege mai bine diferența.
exemplu
Imaginați-vă o clasă cu 35 de studenți și cu următoarele situații:
- Profesorul dorește ca trei dintre elevii săi să-l ajute să păstreze clasa curată sau să transmită materiale celorlalți studenți atunci când are nevoie de ea.
- Profesorul dorește să numească delegații de clasă (un președinte, un asistent și un finanțator).
Soluția ar fi următoarea:
- Imaginați-vă că votând pe Juan, María și Lucía sunt aleși pentru a curăța clasa sau a livra materialele. Evident, alte grupuri de trei persoane s-ar fi putut forma, printre cei 35 de posibili studenți.
Trebuie să ne punem următoarele lucruri: este ordinea sau poziția pe care fiecare dintre elevi o ocupă în momentul selectării lor importante?
Dacă ne gândim la asta, vedem că într-adevăr nu este important, deoarece grupul va avea grijă de ambele sarcini în mod egal. În acest caz, este o combinație, deoarece nu suntem interesați de poziția elementelor.
- Acum imaginați-vă că John este ales ca președinte, Maria ca asistent și Lucia ca fiind financiar.
În acest caz, ar însemna comanda? Răspunsul este da, pentru că dacă schimbăm elementele, rezultatul se schimbă. Adică dacă, în loc să îl punem pe Juan ca președinte, l-am pus ca asistent, iar Maria ca președinte, rezultatul final s-ar schimba. În acest caz este o permutare.
Odată ce diferența este înțeleasă, vom obține formulele de permutări și combinații. Cu toate acestea, mai întâi trebuie să definim termenul "n!" (Factorial), deoarece va fi folosit în diferitele formule.
n! = la produsul de la 1 la n.
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n
Folosindu-l cu numere reale:
10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3 628 800
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120
Formula permutărilor ar fi următoarea:
nPr = n! / (n-r)!
Cu aceasta putem afla modalitățile în care ordinea este importantă și unde elementele n sunt diferite.
combinaţii
aplicații
Așa cum am comentat anterior, combinațiile sunt aranjamentele în care nu ne pasă de poziția elementelor.
Formula sa este următoarea:
nCr = n! / (n-r) r!
exemplu
Dacă există 14 studenți care doresc să se ofere voluntar pentru a curăța sala de clasă, câte grupuri de curățenie pot forma fiecare grupă de 5 persoane?
Prin urmare, soluția ar fi următoarea:
n = 14, r = 5
14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = Grupuri de 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002
referințe
- Jeffrey, R.C.,Probabilitatea și arta judecății, Cambridge University Press. (1992).
- William Feller, "Introducere în teoria probabilităților și aplicațiile sale"(Vol. 1), Ed. 3, (1968), Wiley
- Finetti, Bruno de (1970). "Fundamentele logice și măsurarea probabilității subiective". Legea psihologică.
- Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004).Introducere în statisticile matematice (Ediția a șasea). Șaua superioară a râului: Pearson.
- Franklin, J. (2001)Știința presupuselor: dovezi și probabilități înainte de Pascal,Johns Hopkins University Press.