Ce tipuri de integrale există?

tipuri de integrale pe care le găsim în calcul sunt: ​​Integrali nedefiniți și Integrali definiți. Deși integralele definite au mai multe aplicații decât integralele nedefinite, este necesar mai întâi să învățăm să rezolvăm integrali nedefiniți.

Una dintre cele mai atractive aplicații ale integralelor definite este calculul volumului unui solid de revoluție.

Ambele tipuri de integrale au aceleași proprietăți de liniaritate, iar tehnicile de integrare nu depind de tipul integrat.

Dar, în ciuda faptului că sunt foarte asemănătoare, există o diferență majoră; în primul tip integrat rezultatul este o funcție (care nu este specifică) în timp ce în al doilea tip rezultatul este un număr.

Două tipuri de principii integrale

Lumea integralelor este foarte largă, dar în cadrul acesteia putem distinge două tipuri de integrale de bază, care au o mare aplicabilitate în viața de zi cu zi.

1 - Integrali indefinite

Dacă F '(x) = f (x) pentru toți x în domeniul lui f, spunem că F (x) este un antiderivativ, primitiv sau integral al f (x).

Pe de altă parte, observăm că (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), ceea ce înseamnă că integrarea unei funcții nu este unică. te antiderivatives.

Din acest motiv F (x) + C este numit Integralul nedefinit al f (x) iar C se numește constanta de integrare și îl scriem în felul următor

După cum se poate observa, integritatea indefinită a funcției f (x) este o familie de funcții.

De exemplu, dacă doriți să calculați integralul nedefinit al funcției f (x) = 3x², trebuie să găsiți mai întâi un antiderivativ de f (x).

Este ușor de remarcat faptul că F (x) = x 3 este un antiderivativ, deoarece F '(x) = 3x². Prin urmare, se poate concluziona că

∫f (x) dx = ∫3x2dx = x3 + C.

2- Integrate definite

Fie y = f (x) o funcție reală, continuă într-un interval închis [a, b] și permiteți F (x) să fie un antiderivativ al f (x). Se numește integrat definitiv al f (x) între limitele a și b la numărul F (b) -F (a) și este notat după cum urmează

Formula de mai sus este mai bine cunoscută sub numele de "Teoria fundamentală a calculului". Aici "a" se numește limita inferioară, iar "b" se numește limita superioară. După cum puteți vedea, integrarea definită a unei funcții este un număr.

În acest caz, dacă se calculează integralul f (x) = 3x² în intervalul [0,3], se va obține un număr.

Pentru a determina acest număr, alegem F (x) = x 3 ca antiderivativă a lui f (x) = 3x². Apoi, calculam F (3) -F (0) care ne dă rezultatul 27-0 = 27. În concluzie, integrarea definitivă a f (x) în intervalul [0.3] este 27.

Se poate sublinia faptul că dacă G (x) = x 3 + 3 este ales, atunci G (x) este un antiderivant al f (x) altul decât F (x), dar acest lucru nu afectează rezultatul deoarece G (3) 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Din acest motiv, în integralele definite, constanta de integrare nu apare.

Una dintre cele mai utile aplicații de acest tip având integral este utilizat pentru a calcula suprafața (volum) unei figuri plane (a unui solid de revoluție) și prin stabilirea unor limite funcții de integrare corespunzătoare (și axa de rotație).

In cadrul integralele definite putem găsi mai multe extensii ale acestui exemplu ca Integrale curbilinii, Integrale de suprafață, integralelor improprii, multiple integralelor, printre altele, toate aplicațiile foarte utile în domeniul științei și ingineriei.

referințe

1. Casteleiro, J. M. (2012). Este ușor să se integreze? Manual de auto-predare. Madrid: ESIC.
2. Casteleiro, J. M. și Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Calcul comprehensiv (Ed. Ilustrată). Madrid: ESIC Editorial.
3. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Matematică Precalculus. Prentice Hall PTR.
4. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Matematica Precalculus: o abordare de rezolvare a problemelor (2, Ed. Ilustrată). Michigan: Sala Prentice.
5. Kishan, H. (2005). Calcul integrat. Editorii și Distribuitorii Atlanticului.
6. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). calcul (Ediția a IX-a). Prentice Hall.