Ce sunt triunghiurile oblice? (cu exerciții rezolvate)

triunghiuri oblice sunt acele triunghiuri care nu sunt dreptunghiuri. Asta este, triunghiuri astfel încât nici unul dintre unghiurile sale nu este un unghi drept (măsurarea sa este de 90º).

Având un unghi drept, atunci teorema Pitagora nu poate fi aplicată acestor triunghiuri.

Prin urmare, pentru a cunoaște datele într-un triunghi oblic, este necesar să se utilizeze alte formule.

Formulele necesare pentru a rezolva un triunghi cu unghi oblic sunt așa-numitele legi ale sinusurilor și cosinelor, care vor fi descrise mai târziu.

În plus față de aceste legi, întotdeauna se poate folosi faptul că suma unghiurilor interne ale unui triunghi este egală cu 180 °.

Oblic triunghiuri

Așa cum sa spus la început, un triunghi oblic este un triunghi, astfel încât nici unul dintre unghiurile lui nu măsoară 90º.

Problema de a găsi lungimile laturilor unui triunghi scalen și pentru a găsi unghiuri măsuri, se numește „triunghiuri“ rezoluție oblice.

Un fapt important în lucrul cu triunghiurile este că suma celor trei unghiuri interne ale unui triunghi este egală cu 180 °. Acesta este un rezultat general, prin urmare, pentru triunghiuri oblice, poate fi de asemenea aplicat.

Legile sanilor și cosinelor

Având un triunghi ABC cu laturile de lungime "a", "b" și "c":

- Legea sinus prevede că un / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), unde A, B și C sunt opusul "a", "b" și „c unghiuri „respectiv.

- Legea cosinelor afirmă că: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). În mod echivalent, se pot utiliza următoarele formule:

b2 = a2 + c2 - 2ac * cos (B) sau a2 = b2 + c2 - 2bc * cos (A).

Folosind aceste formule puteți calcula datele unui triunghi oblic-unghiular.

pregătire

Mai jos sunt câteva exerciții în care ar trebui să găsiți datele lipsă ale triunghiurilor date, din anumite date furnizate.

Primul exercițiu

Având un triunghi ABC astfel încât A = 45º, B = 60º și a = 12cm, se calculează celelalte date ale triunghiului.

soluție

Folosind suma unghiurilor interne ale unui triunghi egal cu 180º, trebuie să

C = 180º-45º-60º = 75º.

Cele trei unghiuri sunt deja cunoscute. Apoi continuați să utilizați legea sânilor pentru a calcula cele două laturi care lipsesc.

Ecuațiile care sunt reprezentate sunt 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

De la prima egalitate puteți șterge "b" și obține asta

b = 12 * sin (60º) / păcat (45º) = 6√6 ≈ 14,696cm.

De asemenea, puteți șterge "c" și obțineți asta

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16.392cm.

Al doilea exercițiu

Având în vedere triunghiul ABC astfel încât A = 60º, C = 75º și b = 10cm, se calculează celelalte date ale triunghiului.

soluție

Ca și în exercițiul anterior, B = 180º-60º-75º = 45º. Mai mult, folosind legislația unui sinus spune ca un / sin (60) = 10 / sin (45) = c / sin (75 °), din care rezultă că a = 10 * sin (60 °) / sin (45 °) = 5 √6 ≈ 12.247 cm și c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13.660 cm.

Al treilea exercițiu

Având în vedere triunghiul ABC astfel încât a = 10cm, b = 15cm și C = 80º, se calculează celelalte date ale triunghiului.

soluție

În acest exercițiu, este cunoscut un singur unghi, prin urmare nu puteți începe așa cum ați făcut în cele două exerciții anterioare. De asemenea, legea sânilor nu poate fi aplicată deoarece nici o ecuație nu poate fi rezolvată.

Prin urmare, vom continua să aplicăm legea cosinelor. Atunci este asta

c = 10 2 + 15 ² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0,173 ≈ 272,905 cm,

astfel încât c ≈ 16,51 cm. Acum, cunoscând cele 3 laturi, legea sânilor este folosită și veți obține

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16,51 cm / păcat (80 °).

Prin urmare, la compensarea B rezultă fără (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, ceea ce implică faptul că B ≈ 63.38º.

Acum, se poate obține că A = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Al patrulea exercițiu

Latura unui triunghi oblic este a = 5cm, b = 3cm și c = 7cm. Calculați unghiurile triunghiului.

soluție

Din nou, legea sânilor nu poate fi aplicată direct, deoarece nici o ecuație nu ar servi pentru a obține valoarea unghiurilor.

Folosind legea cosinus trebuie c² = a² + b² - 2ab cos (C), unde de compensare trebuie să cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) / 2 * 5 * 3 = -15/30 = -1/2 și prin urmare C = 120º.

Acum, dacă puteți aplica legea sinus și pentru a obține 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), unde puteți șterge B și obține fără (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0,371, astfel încât B = 21,79º.

În final, ultimul unghi este calculat cu A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

referințe

1. Landaverde, F.d. (1997). geometrie (Reprint ed.). Progresul.
2. Leake, D. (2006). triunghiuri (ilustrat ed.). Heinemann-Raintree.
3. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Geometrii. Tehnologia CR
5. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.
6. Sullivan, M. (1997). Trigonometrie și geometrie analitică. Pearson Education.