Ce sunt limitele trigonometrice? (cu exerciții rezolvate)

limitele trigonometrice ele sunt limite ale funcțiilor astfel încât funcțiile menționate să fie formate din funcții trigonometrice.

Există două definiții care trebuie cunoscute pentru a înțelege cum este efectuată calculul unei limite trigonometrice.

Aceste definiții sunt:

- Limita unei funcții "f" când "x" tinde să "b": constă în calcularea valorii la care f (x) se apropie ca "x" se apropie "b" “.

- Funcțiile trigonometrice: funcțiile trigonometrice sunt funcțiile sinus, cosinus și tangente, notate cu sin (x), cos (x) și tan (x) respectiv.

Celelalte funcții trigonometrice sunt obținute din cele trei funcții menționate mai sus.

Limitele funcțiilor

Pentru a clarifica conceptul de limită a unei funcții, vom continua să prezentăm câteva exemple cu funcții simple.

- Limita f (x) = 3 când "x" tinde la "8" este egală cu "3", deoarece funcția este întotdeauna constantă. Indiferent cât de mult valorează valoarea "x", valoarea f (x) va fi întotdeauna "3".

- Limita f (x) = x-2 când "x" tinde la "6" este "4". De când "x" se apropie de "6" atunci "x-2" se apropie de "6-2 = 4".

- Limita lui g (x) = x 2 când "x" tinde la "3" este egală cu 9, deoarece "x" se apropie de "3" .

Așa cum se poate vedea în exemplele anterioare, calcularea unei limite constă în evaluarea valorii la care "x" tinde în funcție și rezultatul va fi valoarea limitei, deși acest lucru este valabil doar pentru funcțiile continue.

Există limite mai complicate?

Răspunsul este da. Exemplele de mai sus sunt cele mai simple exemple de limite. În cărțile de calcul, exercițiile de limite principale sunt cele care generează o indeterminare a tipurilor 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) 0 0 și (∞) ^ 0.

Aceste expresii se numesc indeterminări, deoarece sunt expresii care nu au semnificație matematic.

În plus, în funcție de funcțiile implicate în limita inițială, rezultatul obținut în rezolvarea indeterminărilor poate fi diferit în fiecare caz.

Exemple de limite simple trigonometrice

Pentru a rezolva limitele, este întotdeauna foarte util să cunoști graficele funcțiilor implicate. Graficele funcțiilor sinus, cosinus și tangent sunt prezentate mai jos.

Câteva exemple de limite simple trigonometrice sunt:

- Calculați limita păcatului (x) atunci când "x" tinde la "0".

La vizualizarea graficului puteți vedea că dacă "x" se apropie de "0" (ambele din stânga și din dreapta), atunci graficul sinusoidal se apropie, de asemenea, de "0". Prin urmare, limita păcatului (x) când "x" tinde la "0" este "0".

- Calculați limita cos (x) atunci când "x" tinde la "0".

Observând graficul cosinus se observă că atunci când "x" este aproape de "0" atunci graficul cosinus este aproape de "1". Aceasta înseamnă că limita cos (x) atunci când "x" tinde la "0" este egală cu "1".

O limită poate exista (să fie un număr), ca în exemplele anterioare, dar se poate întâmpla, de asemenea, să nu existe așa cum se arată în exemplul următor.

- Limita de bronz (x) când "x" tinde spre "Π / 2" în stânga este egală cu "+ ∞", așa cum se poate vedea în grafic. Pe de altă parte, limita tan (x) atunci când "x" tinde să "-Π / 2" pe dreapta este egală cu "-∞".

Identitățile limitelor trigonometrice

Două identități foarte utile la calcularea limitelor trigonometrice sunt:

- Limita "păcatului (x) / x" când "x" tinde la "0" este egală cu "1".

- Limita "(1-cos (x)) / x" atunci când "x" tinde la "0" este egală cu "0".

Aceste identități sunt folosite foarte des atunci când aveți un fel de indeterminare.

Exerciții rezolvate

Rezolvați următoarele limite utilizând identitățile descrise mai sus.

- Calculați limita "f (x) = sin (3x) / x" atunci când "x" tinde la "0".

Dacă funcția "f" este evaluată la "0", se obține o indeterminare de tipul 0/0. Prin urmare, trebuie să încercăm să rezolvăm această indeterminare folosind identitățile descrise.

Singura diferență dintre această limită și identitate este numărul 3 care apare în funcția sinusoidală. Pentru a aplica identitatea, funcția "f (x)" trebuie rescrisă în felul următor "3 * (sin (3x) / 3x)".Acum, argumentul sinusului și al numitorului sunt egale.

Deci atunci când "x" tinde la "0", folosind identitatea rezultă în "3 * 1 = 3". Prin urmare, limita f (x) când "x" tinde la "0" este egală cu "3".

- Calculați limita "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" atunci când "x" tinde la "0".

Atunci când "x = 0" este înlocuit în g (x), se obține o indeterminare a tipului ∞-∞. Pentru a rezolva aceasta, se scad fractiile, rezultand rezultatul "(1-cos (x)) / x".

Acum, atunci când aplicăm a doua identitate trigonometrică, limita g (x) atunci când "x" tinde la "0" este egală cu 0.

- Calculați limita "h (x) = 4tan (5x) / 5x" atunci când "x" tinde la "0".

Din nou, dacă h (x) este evaluat la "0", se va obține o indeterminare de tipul 0/0.

Redarea tan (5x) ca sin (5x) / cos (5x) duce la h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Folosind limita de 4 / cos (x) atunci când "x" tinde la "0" este egală cu "4/1 = 4" și se obține prima identitate trigonometrică încât limita h (x) un "0" este egal cu "1 * 4 = 4".

observație

Limitele trigonometrice nu sunt întotdeauna ușor de rezolvat. În acest articol au fost prezentate doar exemple de bază.

referințe

1. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Matematică Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W. & Varberg, D. E. (1989). Matematica Precalculus: o abordare de rezolvare a problemelor (2, Ed. Ilustrată). Michigan: Sala Prentice.
3. Fleming, W. & Varberg, D. (1991). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (Ediția 8). Învățarea în învățământ
5. Leal, J. M. și Viloria, N. G. (2005). Geometrie analitică plană. Mérida - Venezuela: Editorial Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). Precalculus. Pearson Education.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). calcul (Ediția a IX-a). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Calcul diferențial cu funcții transcendentale timpurii pentru știință și inginerie (Ediția a doua ed.). Ipotenuză.
9. Scott, C. A. (2009). Cartesian Planet Geometry, Partea: Console analitice (1907) (reprint ed.). Sursa fulgerului.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculus. Pearson Education.