Acțiune:
Ce este un Vector și care sunt Caracteristicile sale?
o vector este o cantitate sau un fenomen care are două proprietăți independente: magnitudinea și direcția. Termenul desemnează și reprezentarea matematică sau geometrică a unei astfel de cantități.
Exemple de vectori în natură sunt viteza, forța, câmpurile electromagnetice și greutatea. O cantitate sau un fenomen care arată doar magnitudinea, fără o direcție specifică, se numește scalar.
Exemple de scalare includ viteza, masa, rezistența electrică și capacitatea de stocare pe hard disk.
Vectorii pot fi reprezentați grafic în două sau trei dimensiuni. Mărimea este prezentată ca lungimea unui segment. Direcția este indicată de orientarea segmentului și de o săgeată la un capăt.
Ilustrația de mai sus prezintă trei vectori în coordonate dreptunghiulare bidimensionale (planul cartezian) și echivalentele lor în coordonate polare.
Vectorii din fizică
În fizică, atunci când aveți un vector, trebuie să țineți cont de două cantități: direcția și magnitudinea sa. Cantitățile care au o singură magnitudine sunt numite scalari. Dacă se dă o direcție unei cantități scalare, se creează un vector.
Din punct de vedere vizual, vectorii sunt văzuți ca săgeți, ceea ce este perfect deoarece o săgeată are o direcție clară și o magnitudine clară (lungimea săgeții).
În figura următoare, săgeata reprezintă un vector care începe la poalele săgeții (numit și coada) și se termină la cap.
În fizică, pentru a reprezenta un vector se utilizează de obicei un font aldine, deși poate fi reprezentat și ca o literă cu o săgeată pe ea.
Săgeata înseamnă că nu este doar o valoare scalară, care ar fi reprezentată de A, dar și ceva cu direcție.
Diferențele dintre vector și scalar
Valorile care nu sunt vectori sunt scalari. De exemplu, o astfel de cantitate de 500 de mere este un scalar, nu are nici o direcție, este doar o magnitudine. Timpul este de asemenea scalar, nu are nici o direcție.
Cu toate acestea, viteza este un vector deoarece nu numai că specifică o magnitudine (viteza) a traseului, ci și direcția (și direcția) traseului.
De exemplu, linia de acțiune a vectorului de viteză poate
să fie la 30 ° față de orizontală. Prin urmare, știm în ce direcție se mișcă obiectul.
Cu toate acestea, acest lucru nu specifică încă direcția călătoriei, indiferent dacă se îndepărtează sau se apropie de noi. Prin urmare, specificăm și direcția în care vectorul acționează printr-o săgeată.
Forța, accelerația și distanța parcursă sunt, de asemenea, vectori. De exemplu, spunând că o mașină deplasată la 10 metri nu indică direcția în care sa mutat. Pentru a specifica complet mișcarea, este de asemenea necesar să specificați direcția și direcția de mișcare.
Forța este, de asemenea, un vector, deoarece dacă trageți un obiect spre dvs., acesta se apropie de voi și dacă împingeți obiectul, acesta se îndepărtează de dvs. Deci, forța are o direcție și un sens și, prin urmare, este un vector.
exemplu
Ca exemple de informații pe care le furnizează un vector, avem următoarele:
Căutați o pungă de aur
Să presupunem că un profesor vă spune: "O pungă de aur se află în afara sala de clasă, să o găsiți, să mutați 20 de metri". Această declarație vă va interesa cu siguranță, cu toate acestea, nu există suficiente informații incluse în declarație pentru a găsi sacul de aur.
Deplasarea necesară pentru a găsi punga de aur nu a fost descrisă pe deplin. Pe de altă parte, să presupunem că profesorul tău îți spune: "O pungă de aur este situată în afara sălii de clasă, pentru a se deplasa din centrul ușii clasei de 20 de metri într-o direcție de 30 ° vest de nord."
Această afirmație oferă acum o descriere completă a vectorului de deplasare, care enumeră magnitudinea (20 metri) și direcția (30 ° la vest de nord) cu privire la o poziție de referință sau de pornire (centrul porții clasei). ).
Cantitățile vectorilor nu sunt descrise pe deplin decât dacă sunt indicate atât mărimea, cât și direcția.
Deplasarea în mașină
Când ne mutăm într-o mașină folosim vectori diferiți. Aceste vectori apar de fiecare dată când schimbăm viteza.
Când accelerăm să depășim o altă mașină, adăugăm variabile de direcție și de viteză care alcătuiesc un nou vector.
Pe de altă parte, când vrem să micșorăm viteza, dedicăm vectorii corespunzând decelerației menționate.
Într-un alt sens, când ne întoarcem fără a schimba viteza, modificăm semnificația vectorului care iese din mișcarea mașinii.
Deschideți o ușă
Când deschidem o ușă, folosim mai mulți vectori. În primul rând, trebuie să imprimați o forță într-o anumită direcție pentru a roti butonul ușii, apoi trebuie să împingem ușa într-o anumită direcție, imprimând o forță.
Aceste valori de forță și de direcție corespund vectorilor care sunt utilizați pentru a deschide o ușă. Procesul de închidere a unei uși va genera un vector nou, în care valoarea sa va fi negativă în raport cu cea dată inițial pentru ao deschide.
Mutați o cutie
Când vrem să împingem o cutie care este foarte grea, trebuie să exercităm o forță pe suprafața ei laterală. Această forță trebuie exercitată într-o direcție, astfel încât cutia să se poată mișca.
În acest caz, vectorul va rezulta din combinarea forței și direcției aplicate pentru a muta cutia.
În cazul în care forța nu este utilizată pentru a împinge cutia, ci pentru ao ridica vertical, va apărea un vector nou.
Acest vector va fi format din axa verticală pe care este ridicată cutia și forța aplicată pentru ridicare.
Deplasați o placă de șah
Ca și exemplul anterior, o placă de șah poate fi mutată pe suprafața mesei - într-o anumită direcție și, prin aplicarea unei forțe specifice - pentru a-și schimba poziția pe placă, generând un vector.
De asemenea, poate fi ridicată de pe placă, generând un nou vector în direcție verticală.
Apăsați un buton
Un botó va fi apăsat într-o singură direcție, dat de același sistem care conține butonul.
Pentru a apăsa acel buton, este necesar să aplicați o forță cu degetul. Din exercitarea acestei mișcări rezultă un vector.
Joacă biliard
Acțiunea de lovire a unei mingi de biliard cu tacul de lemn are drept rezultat un vector, deoarece are efectul a două magnitudine: forță și direcție.
O forță va fi aplicată mingii de biliard, pentru a o deplasa într-o anumită direcție. Bilele de biliard de pe masă vor avea un sens stabilit anterior, care va depinde de decizia jucătorului.
Tragerea unei mașini de jucărie
Când un copil își ia mașina de jucărie și o trage de pe o frânghie sau o manipulează pur și simplu cu mâinile, va genera numeroase vectori.
De fiecare dată când copilul schimbă viteza sau direcția în care se deplasează mașina, va crea un nou vector.
Variabilele vectorului, în acest caz, ar fi compuse din energia pe care copilul o aplică în mașină și direcția în care dorește să o mute.
Reprezentarea vectorilor
Cantitățile vectorilor sunt adesea reprezentate de diagrame vectoriale scalate.
Diagramele vectoriale reprezintă un vector folosind o săgeată trasată la scară într-o anumită direcție. O diagramă adecvată a vectorului trebuie să aibă mai multe caracteristici:
- O scară este enumerată în mod clar.
- O săgeată vector este trasată (cu o săgeată) într-o anumită direcție. Săgeata vectorului are un cap și o coadă.
- Amploarea și direcția vectorului sunt etichetate în mod clar.
Adresa unui vector
Vectorii pot fi direcționați către est, vest, sud și nord. Dar unele vectori sunt direcționați spre nord-est (la un unghi de 45 °). Prin urmare, există o nevoie clară de a identifica direcția unui vector care nu depinde de nord, sud, est sau vest.
Există o varietate de convenții pentru a descrie direcția oricărui vector, însă numai două dintre ele vor fi explicate mai jos.
1-Direcția unui vector este adesea exprimată ca un unghi de rotație al vectorului în jurul "coada" lui spre est, vest, nord sau sud.
De exemplu, se poate spune că un vector are o adresă de 40 ° la nord de vest (ceea ce înseamnă că un vector îndreptat spre vest a fost transformat la 40 ° spre nord) sau că are o direcție de 65 ° grade la est de sud (ceea ce înseamnă că un vector îndreptat spre sud a rotit 65 ° spre est).
2-Direcția unui vector este adesea exprimată ca un unghi de cotitură în sensul invers acelor de ceasornic al vectorului. Folosind această convenție, un vector cu o direcție de 30 ° este un vector care a fost rotit cu 30 ° în sens invers acelor de ceasornic față de est.
Un vector cu o direcție de 160 ° este un vector care a fost rotit 160 ° în sens invers acelor de ceasornic față de est. Un vector cu o direcție de 270 ° este un vector care a fost rotit 270 ° în sens invers acelor de ceasornic față de est.
Amplitudinea unui vector
Mărimea unui vector într-o diagramă a vectorului scalat este reprezentată de lungimea săgeții. Săgeata este trasă cu o lungime exactă, în funcție de o scală selectată.
De exemplu, dacă doriți să desenați un vector cu o magnitudine de 20 de metri, puteți alege ca scală 1 cm = 5 metri și trageți o săgeată cu o lungime de 4 cm.
Utilizând aceeași scală (1 cm = 5 metri), un vector de deplasare de 15 metri va fi reprezentat de o săgeată de vector de 3 cm lungime.
În același mod, un vector de deplasare de 25 de metri este reprezentat de o săgeată de 5 cm în lungime. Și în final, un vector de deplasare de 18 metri este reprezentat de o săgeată de 3,6 cm lungime.
Alte caracteristici ale vectorilor
egalitate: se spune că doi vectori sunt egali dacă au aceeași magnitudine și direcție. În mod echivalent, ele vor fi egale dacă coordonatele lor sunt egale.
opoziție: doi vectori sunt opuși dacă au aceeași magnitudine, dar direcție opusă.
Paralelos: doi vectori sunt paralele dacă au aceeași direcție, dar nu neapărat aceeași magnitudine, sau antiparalerale dacă au direcția opusă, dar nu neapărat aceeași magnitudine.
Unitate Vector: un vector de unitate este orice vector cu o lungime de unu.
Vector zero: vectorul zero este vectorul cu lungime zero. Spre deosebire de orice alt vector, acesta are o direcție arbitrară sau nedeterminată și nu poate fi normalizat
referințe
- Jong IC, Rogers BG. Inginerie mecanică: statică (1991). Saunders College Publishing.
- Ito K. Dicționar encyclopedic al matematicii (1993). MIT Press.
- Ivanov AB. Enciclopedia de matematică (2001). Springer.
- Kane T, Levinson D. Dynamics Online (1996). Sunnyvale: Dynamics OnLine.
- Lang S. Introducere în algebra liniară (1986). Springer.
- Niku S. Principii de inginerie în viața de zi cu zi pentru non-ingineri (2016). Morgan & Claypool.
- Pedoe D. Geometrie: un curs cuprinzător (1988). Dover.