Explicații de produse notabile și exerciții rezolvate

produse remarcabile ele sunt operații algebrice, unde se exprimă multiplicări de polinoame, care nu trebuie rezolvate în mod tradițional, dar cu ajutorul anumitor reguli le puteți găsi rezultatele.

Polinomii se înmulțesc cu da, prin urmare pot avea un număr mare de termeni și variabile. Pentru a face procesul să fie mai scurt, se folosesc regulile produselor remarcabile, care permit multiplicări fără a fi nevoie de termen.

index

• 1 Produse și exemple notabile
  • 1.1 Binomial pătrat
  • 1.2 Produsul binomialilor conjugați
  • 1.3 Produsul a două binomiale cu un termen comun
  • 1.4 Pătrat polinomial
  • 1.5 Binomial la cub
  • 1.6 Cubul unui trinomial
• 2 Exerciții rezolvate pentru produse remarcabile
  • 2.1 Exercițiul 1
  • 2.2 Exercițiul 2
• 3 Referințe

Produse și exemple notabile

Fiecare produs remarcabil este o formulă care rezultă dintr-o factorizare, compusă din polinomi de diferiți termeni cum ar fi binomiali sau trinomiali, numiți factori.

Factorii sunt baza unei puteri și au un exponent. Când factorii se înmulțesc, exponenții trebuie adăugați.

Există mai multe formule remarcabile de produse, unele sunt mai utilizate decât altele, în funcție de polinoame și sunt următoarele:

Binomial pătrat

Este înmulțirea unui binomial prin el însuși, exprimat sub forma puterii, în care se adaugă sau se scade termenii:

a. Binomial de suma la pătrat: este egal cu pătratul primului termen, plus dublul produsului termenilor, plus pătratul celui de-al doilea termen. Se exprimă după cum urmează:

(a + b)² = (a + b) _* (a + b)

Figura următoare arată modul în care produsul este dezvoltat în conformitate cu regula menționată mai sus. Rezultatul este numit trinomial al unui pătrat perfect.

Exemplul 1

(x + 5) 2 = x 2 + 2 (x * 5) + 5 2

(x + 5) 2 = x 2 + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x 2 + 10x + 25.

Exemplul 2

(4a + 2b) = (4a)² + 2 (4a _* 2b) + (2b)²

(4a + 2b) = 8a² + 2 (8ab) + 4b²

(4a + 2b) = 8a² + 16b + 4b².

b. Binomul unei scăderi pătrat: aceeași regulă se aplică binomului unei sume, numai că în acest caz al doilea termen este negativ. Formula sa este următoarea:

(a - b)² = [(a) + (- b)]²

(a - b)² = a² + 2a _* (-b) + (-b)²

(a - b)²   = a² - 2ab + b².

Exemplul 1

(2x - 6)² = (2x)² - 2 (2x _* 6) + 6²

(2x - 6)²  = 4x² - 2 (12x) + 36

(2x - 6)² = 4x² - 24x + 36

Produs de binomiali conjugați

Două binomiali sunt conjugate atunci când al doilea termen al fiecăruia este de semne diferite, adică cel al primului este pozitiv și cel al celui de-al doilea negativ sau invers. Rezolvați prin ridicarea fiecărei pătrate de monomi și scăzând. Formula sa este următoarea:

(a + b) _* (a - b)

În figura următoare este produs produsul a două binomiale conjugate, unde se observă că rezultatul este o diferență de pătrate.

Exemplul 1

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a² + (-6ab) + (6ab) + (-9b)²)

(2a + 3b) (2a-3b) = 4a² - 9b².

Produs de două binomiale cu un termen comun

Este unul dintre cele mai complexe și puțin utilizate produse remarcabile, deoarece este o multiplicare de două binomială care au un termen comun. Regula indică următoarele:

• Pătratul termenului comun.
• Plus adăugați termenii care nu sunt obișnuiți și apoi înmulțiți-i cu termenul comun.
• Plus suma multiplicării termenilor care nu sunt obișnuiți.

Este reprezentat în formula: (x + a) _* (x + b) și este dezvoltat așa cum se arată în imagine. Rezultatul este un trinomial patrat, nu perfect.

Exemplul 1

(x + 6) _* (x + 9) = x² + (6 + 9) _* x + (6 _* 9)

(x + 6) _* (x + 9) = x² + 15x + 54

Există posibilitatea ca al doilea termen (termenul diferit) să fie negativ, iar formula lui să fie următoarea: (x + a) _* (x-b).

Exemplul 2

(7x + 4) _* (7x - 2) = (7x _* 7x) + (4-2)_* 7x + (4 _* -2)

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + (2)_* 7x - 8

(7x + 4) _* (7x - 2) = 49x² + 14x - 8

De asemenea, poate fi cazul ca ambii termeni diferiți să fie negativi. Formula lui va fi: (x - a) _* (x-b).

Exemplul 3

(3b - 6) _* (3b - 5) = (3b _* 3b) + (-6-5)_* (3b) + (-6 _* -5)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² + (-11) _* (3b) + (30)

(3b - 6) _* (3b - 5) = 9b² - 33b + 30.

Un polinom pătrat

În acest caz, există mai mult de doi termeni și să-l dezvolte, fiecare dintre ele fiind pătrat și adăugat împreună cu dubla multiplicare a unui termen cu altul; formula lui este: (a + b + c)² iar rezultatul operației este un trinomial pătrat.

Exemplul 1

(3x + 2y + 4z)² = (3x)² + (2y)² + (4z)² + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)² = 9x² + 4y² + 16z² + 12x + 24xz + 16yz.

Cupă binomică

Este un produs remarcabil complex.Pentru ao dezvolta, înmulțiți binomul cu pătratul său, în felul următor:

a. Pentru binomul la cubul unei sume:

• Cubul primului termen plus triplul pătratului primului termen de către al doilea.
• Plus triplul primului termen, cu al doilea pătrat.
• Plus cubul celui de-al doilea termen.

(a + b)³ = (a + b) _* (a + b)²

(a + b)³ = (a + b) _* (un² + 2ab + b²)

(a + b)³ = a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Exemplul 1

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(3)² + (3)³

(a + 3)³ = a³ + 3 (a)²_*(3) + 3 (a)_*(9) + 27

(a + 3)³ = a³ + 9 a² + 27a + 27.

b. Pentru binomul la cubul unei scăderi:

• Cubul primului termen, mai puțin tripla pătratului primului termen cu cel de-al doilea.
• Plus triplul primului termen, cu al doilea pătrat.
• Cu excepția cubului celui de-al doilea termen.

(a - b)³ = (a - b) _* (a - b)²

(a - b)³ = (a - b) _* (un² - 2ab + b²)

(a - b)³ = a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³

(a - b)³ = la³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Exemplul 2

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(-5)² + (-5)³

(b - 5)³ = b³ + 3 (b)²_*(-5) + 3 (b)_*(25) -125

(b - 5)³ = b³ - 15b² + 75b - 125

Cupa unui trinomial

Se dezvoltă prin înmulțirea lui cu pătratul său. Este un produs remarcabil foarte extins, deoarece există 3 termeni ridicați la cub, plus de trei ori fiecare termen pe pătrat, înmulțit cu fiecare dintre termeni, plus șase ori produsul celor trei termeni. Văzut într-un mod mai bun:

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (a + b + c)²

(a + b + c)³ = (a + b + c) _* (un² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc

Exemplul 1

S-au rezolvat exerciții de produse remarcabile

Exercițiul 1

Dezvoltați următoarea binomă pe cub: (4x - 6)³.

soluție

Reamintind că un binomial cu cubul este egal cu primul termen ridicat la cub, mai puțin triplea pătratului primului termen cu cel de-al doilea; plus triplul primului termen, cu al doilea pătrat, minus cubul celui de-al doilea termen.

(4x - 6)³ = (4x)³ - 3 (4x)²(6) + 3 (4x) _* (6)² - (6)²

(4x - 6)³ = 64x³ - 3 (16x²) (6) + 3 (4x)_* (36) - 36

(4x - 6)³ = 64x³ - 288x² + 432x - 36

Exercitarea 2

Elaborați următoarea binomă: (x + 3) (x + 8).

soluție

Există un binomial în care există un termen comun, care este x, iar al doilea termen este pozitiv. Pentru ao dezvolta, trebuie doar să pătrundem termenul comun, plus suma termenilor care nu sunt obișnuiți (3 și 8) și apoi să îi înmulțim cu termenul comun, plus suma multiplicării termenilor care nu sunt obișnuiți.

(x + 3) (x + 8) = x² + (3 + 8) x + (3_*8)

(x + 3) (x + 8) = x² + 11x + 24

referințe

1. Angel, A. R. (2007). Algebra elementară Pearson Education,.
2. Arthur Goodman, L. H. (1996). Algebra și trigonometria cu geometrie analitică. Pearson Education.
3. Das, S. (s.f.). Maths Plus 8. Regatul Unit: Ratna Sagar.
4. Jerome E. Kaufmann, K. L. (2011). Algebra elementară și intermediară: o abordare combinată. Florida: Învățarea în domeniul educației.
5. Pérez, C. D. (2010). Pearson Education.