Principii multiplicative de numărare și exemple



principiul multiplicativ este o tehnică folosită pentru a rezolva problemele de numărare pentru a găsi soluția fără a fi necesară listarea elementelor sale. Este, de asemenea, cunoscut ca principiul fundamental al analizei combinatoriale; se bazează pe o multiplicare succesivă pentru a determina modul în care poate să apară un eveniment.

Acest principiu stabilește că, dacă o decizie (d1) pot fi luate în n moduri și o altă decizie (d2) pot fi luate în m moduri, numărul total de moduri în care deciziile pot fi luate1 și d2 va fi egal cu multiplicarea lui n * m. Conform principiului, fiecare decizie se face una după alta: numărul de căi = N1 * N2… * Nx moduri.

index

  • 1 Exemple
    • 1.1 Exemplul 1
    • 1.2 Exemplul 2
  • 2 Tehnici de numărare
    • 2.1 Principiul completării
    • 2.2 Principiul permutării
    • 2.3 Principiul combinației
  • 3 Exerciții rezolvate
    • 3.1 Exercițiul 1
    • 3.2 Exercițiul 2
  • 4 Referințe

Exemple

Exemplul 1

Paula intenționează să meargă la filme cu prietenii ei și să aleagă hainele pe care le va purta, separă 3 bluze și 2 fuste. Câte moduri poate să se îmbrace Paula?

soluție

În acest caz, Paula trebuie să ia două decizii:

d1 = Alegeți între 3 bluze = n

d2 = Alegeți între 2 fuste = m

În felul acesta Paula are n * m deciziile de a face sau diferite moduri de îmbrăcăminte.

n * m = 3* 2 = 6 decizii.

Principiul multiplicator vine de la tehnica diagramei arborescentoare, care este o diagramă care corelează toate rezultatele posibile, astfel încât fiecare poate să apară într-un număr finit de ori.

Exemplul 2

Mario a fost foarte sete, așa că sa dus la brutărie pentru a cumpăra un suc. Luis se ocupă de el și îi spune că are două dimensiuni: mari și mici; și patru arome: mere, portocale, lămâie și struguri. Câte moduri poate alege Mario pentru sucul?

soluție

În diagrama se poate observa că Mario are 8 moduri diferite de a alege sucul și că, ca și în principiul multiplicativ, acest rezultat este obținut prin înmulțirea lui n*m. Singura diferență este că, prin această diagramă, puteți ști cum sunt modalitățile prin care Mario alege sucul.

Pe de altă parte, atunci când numărul de rezultate posibile este foarte mare, este mai practic să se folosească principiul multiplicativ.

Tehnici de numărare

Tehnicile de numărare sunt metode utilizate pentru a face o contabilitate directă și, astfel, pentru a cunoaște numărul de aranjamente posibile pe care le pot avea elementele unui set determinat. Aceste tehnici se bazează pe mai multe principii:

Principiu de adăugare

Acest principiu afirmă că, dacă două evenimente m și n nu pot să apară în același timp, numărul de moduri în care poate apărea primul sau al doilea eveniment va fi suma m + n:

Numărul de formulare = m + n ... + x diferite forme.

exemplu

Antonio vrea să facă o călătorie, dar nu decide la ce destinație; la Agenția de Turism de Sud vă oferă o promoție pentru a călători în New York sau Las Vegas, în timp ce Agenția de Turism de Est vă recomandă să călătoriți în Franța, Italia sau Spania. Cât de multe alternative de călătorie vă oferă Antonio?

soluție

Cu Agenția de Turism de Sud Antonio are 2 alternative (New York sau Las Vegas), în timp ce cu Agenția de Turism de Est are 3 opțiuni (Franța, Italia sau Spania). Numărul de alternative este:

Numărul de alternative = m + n = 2 + 3 = 5 alternative.

Principiul permutării

Este vorba despre ordonarea în mod specific a tuturor sau a unora dintre elementele care formează un set, pentru a facilita numărarea tuturor aranjamentelor posibile care pot fi făcute cu elementele.

Numărul de permutări ale n diferitelor elemente luate simultan este reprezentat de:

nPn = n!

exemplu

Patru prieteni doresc să facă o fotografie și vor să știe câte forme pot fi comandate.

soluție

Vreți să cunoașteți setul tuturor modurilor posibile în care pot fi plasați cei 4 persoane pentru a face fotografia. Deci, trebuie:

4P4 = 4! = 4*3*2*1 = 24 forme diferite.

Dacă numărul de permutări ale n elementelor disponibile este luat de părți dintr-un set format din elemente r, acesta este reprezentat ca:

nPr = n! ÷ (n - r)!

exemplu

Într-o sală de clasă aveți 10 locuri. Dacă în clasă participă 4 elevi, în câte moduri pot ocupa elevi posturile?

soluție

Numărul total de seturi de scaune este de 10, dintre care numai 4 vor fi utilizate. Formula dată este aplicată pentru a determina numărul de permutări:

nPr = n! ÷ (n - r)!

10P4 = 10! ÷ (10 - 4)!

10P4 = 10! ÷ 6!

10P4= 10* 9*8*7*6*5*4*3*2*1 ÷ 6*5*4*3*2*1 = 5040 moduri de umplere a pozițiilor.

Există cazuri în care unele elemente disponibile dintr-un set se repetă (ele sunt aceleași). Pentru a calcula numărul de aranjamente care iau toate elementele simultan, se folosește următoarea formulă:

nPr = n! ÷ n1!* n2! ... nr!

exemplu

Câte cuvinte diferite de patru litere pot fi formate din cuvântul "lup"?

soluție

În acest caz, avem 4 elemente (litere) din care două sunt exact aceleași. Aplicând formula dată, știm câte cuvinte diferite sunt:

nPr = n! ÷ n1!* n2! ... nr!

4P2, 1,1 = 4! ÷ 2!*1!*1!

4P2, 1, 1 = (4*3*2*1) ÷ (2*1)*1*1

4P2, 1, 1 = 24 ÷ 2 = 12 cuvinte diferite.

Principiul combinării

Este vorba despre fixarea tuturor sau a unora dintre elementele care formează un set fără o anumită ordine. De exemplu, dacă aveți o matrice XYZ, aceasta va fi identică cu matricele ZXY, YZX, ZYX, printre altele; Acest lucru se datorează faptului că, în ciuda faptului că nu se află în aceeași ordine, elementele fiecărui aranjament sunt identice.

Când se iau anumite elemente (r) ale mulțimii (n), principiul combinării este dat de următoarea formulă:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

exemplu

Într-un magazin vinde 5 tipuri diferite de ciocolată. Câte moduri diferite puteți alege 4 ciocolată?

soluție

În acest caz, trebuie să alegeți 4 ciocolată din cele 5 tipuri vândute în magazin. Ordinea în care au fost alese nu contează și, în plus, un tip de ciocolată poate fi ales de mai mult de două ori. Aplicând formula, trebuie să:

nCr = n! ÷ (n - r)! R!

5C4 = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

5C4 = 5! ÷ (1)!4!

5C4 = 5*4*3*2*1 ÷ 4*3*2*1

5C4 = 120 ÷ 24 = 5 moduri diferite de a alege 4 ciocolată.

Când se iau toate elementele (r) ale setului (n), principiul combinării este dat de următoarea formulă:

nCn = n!

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1

Aveți o echipă de baseball cu 14 membri. În câte moduri pot fi atribuite 5 posturi pentru un joc?

soluție

Setul este compus din 14 elemente și doriți să atribuiți 5 poziții specifice; adică, această ordine contează. Formula de permutare este aplicată atunci când n elementele disponibile sunt luate de părți dintr-un set format din r.

nPr = n! ÷ (n - r)!

Unde n = 14 și r = 5. Acesta este substituit în formula:

14P5 = 14! ÷ (14 - 5)!

14P5 = 14! ÷ (9)!

14P5 = 240 240 moduri de a atribui cele 9 poziții ale jocului.

Exercitarea 2

Dacă o familie de 9 membri merge pe o călătorie și își cumpără biletele cu locuri consecutive, câte moduri pot sta?

soluție

Se compune din 9 elemente care vor ocupa consecutiv 9 locuri.

P9 = 9!

P9 = 9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 362 880 de moduri diferite de ședere.

referințe

  1. Hopkins, B. (2009). Resurse pentru predarea matematicii discrete: Proiecte de clasă, module de istorie și articole.
  2. Johnsonbaugh, R. (2005). Disciplina matematică Pearson Education,.
  3. Lutfiyya, L. A. (2012). Problemă rezolvată cu probleme matematice finite și discrete. Editori de Asociații de Cercetare și Educație.
  4. Padró, F. C. (2001). Disciplina matematică POLITEC. din Catalunya.
  5. Steiner, E. (2005). Matematică pentru științele aplicate. Reverte.