Metoda pătrată minimă, exerciții rezolvate și ceea ce servește



Metoda de cele mai mici pătrate este una dintre cele mai importante aplicații în aproximarea funcțiilor. Ideea este de a găsi o curbă astfel încât, dat fiind un set de perechi ordonate, această funcție să fie mai apropiată de date. Funcția poate fi o linie, o curbă patratică, o curbă cubică etc.

Ideea metodei este de a minimiza suma de pătrate a diferențelor în ordonate (componenta Y), între punctele generate de funcția aleasă și punctele care aparțin setului de date.

index

  • 1 Metoda cu cele mai mici pătrate
  • 2 Exerciții rezolvate
    • 2.1 Exercițiul 1
    • 2.2 Exercițiul 2
  • 3 Pentru ce este?
  • 4 Referințe

Metoda cu pătrate minimă

Înainte de a da metoda, trebuie mai întâi să fie clar ce înseamnă "o abordare mai bună". Să presupunem că căutăm o linie y = b + mx care reprezintă cel mai bine un set de puncte n, și anume {(x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn)}.

După cum se arată în figura precedentă, dacă variabilele x și y au fost legate de linia y = b + mx, atunci pentru x = x1 valoarea corespunzătoare a y ar fi b + mx1. Cu toate acestea, această valoare este diferită de adevărata valoare a y, care este y = y1.

Reamintim că în plan, distanța dintre două puncte este dată de următoarea formulă:

Având în vedere acest lucru, pentru a determina modul de a alege linia y = b + mx care aproximează cel mai bine datele date, suna logic să folosim drept criteriu selectarea liniei care minimizează suma pătratelor distanțelor dintre puncte și linia.

Deoarece distanța dintre punctele (x1, y1) și (x1, b + mx1) este y1- (b + mx1), problema noastră este redusă la găsirea numerelor m și b astfel încât următoarea sumă să fie minimă:

Linia care îndeplinește această condiție este cunoscută drept "aproximarea liniei celor mai mici pătrate la punctele (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

Odată ce problema este rezolvată, rămâne doar să alegeți o metodă pentru a găsi aproximația celor mai mici pătrate. Dacă punctele (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) sunt toate pe linia y = mx + b, ar trebui să fim coliniari și:

În această expresie:

În cele din urmă, dacă punctele nu sunt colineare, atunci y-Au = 0 și problema poate fi tradusă în găsirea unui vector sau astfel încât norma euclidiană este minimă.

Găsirea vectorului minimalizat nu este la fel de dificilă cum credeți. Deoarece A este o matrice nx2 si u este o matrice 2 × 1, avem ca vectorul Au este un vector in Rn și aparține imaginii A, care este un subspațiu al lui Rn cu o dimensiune nu mai mare de două.

Vom presupune că n = 3 pentru a arăta care este procedura care trebuie urmată. Dacă n = 3, imaginea lui A va fi un plan sau o linie care trece prin origine.

Fie v vectorul minimalizator. În figură observăm că y-Au este minimalizat atunci când este ortogonal la imaginea lui A. Asta este, dacă v este vectorul minimalizator, atunci se întâmplă că:

Apoi, putem exprima cele de mai sus astfel:

Acest lucru se poate întâmpla numai dacă:

În cele din urmă, compensarea v, trebuie să:

Este posibil să faceți acest lucru din moment ce ATA este inversibil atâta timp cât punctele n date ca date nu sunt colineare.

Acum, dacă în loc să căutăm o linie dorim să găsim o parabolă (a cărei expresie ar avea forma y = a + bx + cx2), care a fost o aproximare mai bună a punctelor de date n, procedura va fi descrisă mai jos.

Dacă n punctele de date se află în parabola menționată, ar trebui:

atunci:

În mod similar, putem scrie y = Au. Dacă toate punctele nu sunt în parabola, avem că y-Au este diferit de zero pentru orice vector u și problema noastră este din nou: găsiți un vector u în R3 astfel încât norma lui || y-Au || să fie cât mai mică posibil.

Prin repetarea procedurii anterioare, putem ajunge la vectorul căutat:

Exerciții rezolvate

Exercițiul 1

Găsiți linia care se potrivește cel mai bine punctelor (1,4), (-2,5), (3, -1) și (4,1).

soluție

Trebuie să:

atunci:

Prin urmare, concluzionăm că linia care se potrivește cel mai bine punctelor este dată de:

Exercitarea 2

Să presupunem că un obiect este scăpat de la o înălțime de 200 m. În timp ce se încadrează, se iau următoarele măsuri:

Știm că înălțimea obiectului menționat, după ce a trecut un timp t, este dată de:

Dacă dorim să obținem valoarea lui g, putem găsi o parabolă care este o aproximare mai bună a celor cinci puncte date în tabel și, astfel, am avea coeficientul care însoțește t2 va fi o aproximare rezonabilă la (-1/2) g dacă măsurătorile sunt corecte.

Trebuie să:

Și apoi:

Astfel, punctele de date sunt ajustate prin următoarea expresie patratică:

Apoi, trebuie să:

Aceasta este o valoare relativ apropiată de cea corectă, care este g = 9,81 m / s2. Pentru a obține o aproximare mai precisă a g ar fi necesar să pornim de la observații mai precise.

Pentru ce este?

În problemele care apar în științele naturale sau sociale este convenabil să se scrie relațiile care apar între diferite variabile prin intermediul unei expresii matematice.

De exemplu, putem relaționa costurile (C), veniturile (I) și profiturile (U) în economie prin intermediul unei simple formulări:

În fizică, putem relaționa accelerația cauzată de gravitate, timpul în care un obiect a căzut și înălțimea obiectului prin lege:

În expresia anterioară ssau este înălțimea inițială a obiectului respectiv și vsau Este viteza inițială.

Cu toate acestea, găsirea unor astfel de formule nu este o sarcină simplă; în mod obișnuit, depinde de responsabilul profesional să lucreze cu multe date și să efectueze în mod repetat mai multe experimente (pentru a verifica dacă rezultatele obținute sunt constante) pentru a găsi relații între diferitele date.

O modalitate obișnuită de a realiza acest lucru este reprezentarea datelor obținute într-un avion ca puncte și căutarea unei funcții continue care se apropie de aceste puncte într-un mod optim.

Una dintre modalitățile de a găsi funcția care "aproximează cel mai bine" datele date este prin metoda celor mai mici pătrate.

În plus, așa cum am văzut și în exercițiu, datorită acestei metode putem obține aproximări destul de aproape de constantele fizice.

referințe

  1. Charles W Curtis algebră liniară. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Teoria probațională elementară cu procese stochastice. Springer-Verlag New York Inc
  3. Richar L Burden & J.Douglas Faires. Analiza numerică (7 ani). Thompson Learning.
  4. Stanley I. Grossman. Aplicații de algebră liniară. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
  5. Stanley I. Grossman. Liniar algebră MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO