Originea logicii matematice, ce studii, tipuri



matematică sau logica simbolică este un limbaj matematic care include instrumentele necesare prin care raționamentul matematic poate fi afirmat sau respins.

Este bine cunoscut faptul că în matematică nu există ambiguități. Având în vedere un argument matematic, acest lucru este valabil sau pur și simplu nu este. Nu poate fi falsă și adevărată în același timp.

Un aspect particular al matematicii este acela că are o limbă formală și riguroasă prin care poate fi determinată validitatea unui raționament. Care este ceea ce face ca anumite raționamente sau orice dovadă matematică să fie incontestabile? Asta este logica matematică.

Astfel, logica este disciplina matematica, care este responsabil pentru studierea raționamentul și demonstrații matematice, și oferind instrumentele necesare pentru a putea deduce în mod corect de la unele afirmații sau propuneri anterioare concluzie.

Pentru a face acest lucru, face uz de axiome și alte aspecte matematice care vor fi dezvoltate mai târziu.

index

  • 1 Origine și istorie
    • 1.1 Aristotel
  • 2 Ce înseamnă studiul logicii matematice?
    • 2.1 Propuneri
    • 2.2 Tabele de adevăr
  • 3 Tipuri de logică matematică
    • 3.1 Domenii
  • 4 Referințe

Origine și istorie

Datele exacte cu privire la multe aspecte ale logicii matematice sunt incerte. Cu toate acestea, majoritatea bibliografiilor pe această temă trasează originea acestui fapt în Grecia antică.

Aristotel

Începutul tratamentului riguros al logicii este atribuită în parte Aristotel, care a scris o serie de lucrări de logică, care ulterior au fost compilate și dezvoltate de diferiți filosofi și oameni de știință până în Evul Mediu. Aceasta ar putea fi considerată "vechea logică".

Apoi, în cazul în care este cunoscut sub numele de epoca contemporană, Leibniz, condus de o dorință profundă de a stabili un limbaj universal de a raționa matematic, și alți matematicieni, cum ar fi Gottlob Frege și Giuseppe Peano, influențat în special dezvoltarea logicii matematice cu contribuții mari , printre care și Axiomele lui Peano, care formulează proprietăți indispensabile ale numerelor naturale.

Au fost, de asemenea, influent în acest moment matematicieni George Boole si Georg Cantor, cu contribuții importante pentru a stabili tabele de teorie și de adevăr, care a subliniat, printre altele, algebra booleana (de George Boole) și axioma de alegere (de George Cantor)

Augustus De Morgan, de asemenea, cu legile cunoscute Morgan, contemplând negatiile, conjuncții, disjuncții și condiționale dintre propuneri, cheie pentru dezvoltarea logicii simbolice și diagramele faimoase John Venn Venn.

În secolul XX, aproximativ între 1910 și 1913, Bertrand Russell și Alfred North Whitehead se remarcă prin publicarea Principia matematică, un set de cărți care colectează, dezvoltă și postulează o serie de axiome și rezultate logice.

Ce înseamnă studiul logicii matematice?

propuneri

Logica matematică începe cu studiul propozițiilor. O propoziție este o afirmație că, fără o ambiguitate, se poate spune dacă este adevărată sau nu. Următoarele sunt exemple de propoziții:

  • 2+4=6.
  • 52=35.
  • În anul 1930 a avut loc un cutremur în Europa.

Prima este o propunere adevărată, iar a doua este o propunere falsă. Al treilea, deși este posibil ca persoana care citește nu știe dacă este adevărat sau la dreapta, este o declarație care poate fi verificată pentru a determina dacă este sau nu sa întâmplat de fapt.

Următoarele sunt exemple de expresii care nu sunt propoziții:

  • Ea este blondă.
  • 2x = 6
  • Să jucăm!
  • Îți plac filmele?

În prima propoziție, nu se specifică cine este "ea", deci nimic nu poate fi afirmat. În a doua propoziție, nu a fost specificat ce reprezintă "x". Dacă în schimb se spune că 2x = 6 pentru un număr natural x, în acest caz ar corespunde unei propoziții, de fapt adevărată, deoarece pentru x = 3 este îndeplinită.

Ultimele două declarații nu corespund unei propoziții, deoarece nu există nici o modalitate de a le nega sau de a le afirma.

Două sau mai multe propoziții pot fi combinate (sau conectate) utilizând conectorii conectori (sau conectorii) cunoscuți. Acestea sunt:

  • Refuz: "Nu ploua".
  • Disjuncție: "Luisa a cumpărat o pungă albă sau gri".
  • Conjuncție: "42= 16 și 2 × 5 = 10 ".
  • Condiționat: "Dacă plouă, atunci nu mă duc la sala de gimnastică după-amiaza."
  • Bicondio: "Mă duc la sala de gimnastică după-amiaza dacă și numai dacă nu plouă".

O propoziție care nu are nici unul din legăturile anterioare, se numește propoziție simplă (sau atomică). De exemplu, "2 este mai puțin de 4", este o propoziție simplă. Propozițiile care au unele conectivități se numesc propoziții compuse, de exemplu "1 + 3 = 4 și 4 este un număr par".

Declarațiile făcute prin propoziții sunt, de obicei, lungi, deci este greu să le scriem întotdeauna așa cum am văzut până acum.Prin urmare, este folosit un limbaj simbolic. Propunerile sunt de obicei reprezentate prin majuscule, cum ar fi P, Q, R, S, etc. Și legătura simbolică după cum urmează:

Deci asta

reciproc a unei propoziții condiționate

este propunerea

Și contrapositive (sau contrapozitiv) dintr-o propunere

este propunerea

Tabele de adevăr

Un alt concept important în logică este cel al meselor de adevăr. Valorile adevărului unei propoziții sunt cele două posibilități pe care le aveți pentru o propoziție: adevărată (care va fi notată de V și veți spune că valoarea sa de adevăr este V) sau falsă (care va fi notată de F și valoarea ei va fi spusă este într-adevăr F).

Valoarea adevărului unei propoziții compuse depinde exclusiv de valorile de adevăr ale propozițiilor simple care apar în ea.

Pentru a lucra mai general, nu vom lua în considerare propoziții specifice, ci variabile propoziționale p, q, r, s, etc., care vor reprezenta orice propoziții.

Cu aceste variabile și conectivitățile logice, formulele propoziționale bine cunoscute se formează la fel cum se construiesc propoziții compuse.

Dacă fiecare variabilă care apare într-o formulă propozițională este înlocuită cu o propoziție, se obține o propoziție compusă.

Mai jos sunt tabelele de adevăr pentru conectivitățile logice:

Există formule propoziționale care primesc numai valoarea V în tabelul lor de adevăr, adică ultima coloană a tabelului lor de adevăr are valoarea V. Acest tip de formule este cunoscut sub numele de tautologii. De exemplu:

Următorul este tabelul cu adevărat al formulei

Se spune că o formulă α implică logic o altă formulă β, dacă α este adevărată de fiecare dată când β este adevărată. Adică, în tabelul de adevăr al lui α și β, rândurile în care α are un V, β au de asemenea și V. Doar rândurile în care α au valoarea V sunt interesante. Notația implicării logice este următoarea :

Următorul tabel rezumă proprietățile implicării logice:

Se spune că două formule propoziționale sunt logic echivalente dacă tabelele lor de adevăr sunt identice. Următoarea notație este folosită pentru a exprima echivalența logică:

Următoarele tabele rezumă proprietățile echivalenței logice:

Tipuri de logică matematică

Există diferite tipuri de logică, mai ales dacă luăm în considerare logica pragmatică sau informală care indică filozofia, printre alte domenii.

În ceea ce privește matematica, tipurile de logică ar putea fi rezumate după cum urmează:

  • O logică formală sau o logică aristoteliană (logică antică).
  • Logica propozitiva: este responsabilă pentru studierea a tot ceea ce are legătură cu valabilitatea argumentelor și a propozițiilor folosind un limbaj formal și, de asemenea, simbolic.
  • Logica simbolică: se concentrează pe studiul seturilor și a proprietăților lor, de asemenea, cu un limbaj formal și simbolic și este profund legată de logica propozițională.
  • Logica combinatorică: una dintre cele mai recent dezvoltate, implică rezultate care pot fi dezvoltate de algoritmi.
  • Programare logică: folosită în diferitele pachete și limbi de programare.

zone

Printre domeniile care folosesc logica matematică într-un mod indispensabil în dezvoltarea raționamentului și argumentelor lor, ele subliniază filozofia, teoria seturilor, teoria numerelor, matematica constructivă algebrică și limbile de programare.

referințe

  1. Aylwin, C.U. (2011). Logică, seturi și numere. Mérida - Venezuela: Consiliul Publicațiilor, Universidad de Los Andes.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M. și Soto, A. (1998). Introducere în teoria numerelor. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Curs de bază în teoria numerelor. Universitatea din Nord.
  4. Cofré, A. și Tapia, L. (1995). Cum să dezvolți rațiunea matematică logică Universitatea Editorial.
  5. Zaragoza, A. C. (s.f.). Teoria numerelor Cărți vizuale editoriale.