Proprietăți, tipuri și exemple de proprietăți

homotecia este o schimbare geometrică în planul în care, de la un punct fix numit central (O), distanțele sunt înmulțite cu un factor comun. În acest fel, fiecare punct P corespunde unui alt punct P 'produs al transformării și acestea sunt aliniate cu punctul O.

Apoi, homothety este o corespondență între două figuri geometrice, în cazul în care punctele transformate sunt numite homothetic, și acestea sunt aliniate cu un punct fix și cu segmente paralele unul cu celălalt.

index

• 1 Homotecia
• 2 Proprietăți
• 3 Tipuri
  • 3.1 Homothety directe
  • 3.2 Homothety inversă
• 4 Compoziție
• 5 Exemple
  • 5.1 Primul exemplu
  • 5.2 Al doilea exemplu
• 6 Referințe

homotecia

Homotetul este o transformare care nu are o imagine congruentă, deoarece dintr-o singură figură vor fi obținute una sau mai multe figuri cu o mărime mai mare sau mai mică decât cea originală; adică homotetul transformă un poligon într-un altul similar.

Pentru ca homotetul să fie îndeplinit, ele trebuie să corespundă punctului la punct și dreptei, astfel încât perechile punctelor omoloage să fie aliniate cu un al treilea punct fix, care este centrul homotetei.

De asemenea, perechile de linii care se aliniază trebuie să fie paralele. Relația dintre astfel de segmente este o constantă numită raportul homotetei (k); în așa fel încât homotetul să poată fi definit ca:

Pentru a face acest tip de transformare începem prin alegerea unui punct arbitrar, care va fi centrul homotetei.

Din acest punct, segmentele de linie sunt desenate pentru fiecare vârf al figurii care urmează să fie transformată. Scara pe care se face reproducerea figurii noi este dată de raportul homotetei (k).

proprietăţi

Una dintre principalele proprietăți ale omotetei este că, din motive de homothety (k), toate figurile homotetice sunt similare. Printre alte proprietati deosebite se numara:

- centrul homotetei (O) este singurul punct dublu și acest lucru devine el însuși; adică nu variază.

- Liniile care trec prin centru se transformă (ele sunt duble), dar punctele care o compun nu sunt duble.

- liniile drepte care nu trec prin centru sunt transformate în linii paralele; în acest fel, unghiurile homotetei rămân aceleași.

- Imaginea unui segment printr-o homothety de centru O și raport k, este un segment paralel cu acesta și are k ori lungimea lui. De exemplu, așa cum se vede în imaginea de mai jos, un segment AB prin homotetic va avea ca rezultat un alt segment A'B ', astfel că AB va fi paralel cu A'B' și k va fi:

- Unghiurile omotetice sunt congruente; adică, au aceeași măsură. Prin urmare, imaginea unui unghi este un unghi care are aceeași amplitudine.

Pe de altă parte, homotetul variază în funcție de valoarea raportului (k) și pot apărea următoarele cazuri:

- Dacă constanta k = 1, toate punctele sunt fixate deoarece se transformă singure. Astfel, figura homotetică coincide cu originalul și transformarea va fi numită funcție de identitate.

- Dacă k ≠ 1, singurul punct fix va fi centrul homotetei (O).

- Dacă k = -1, homotetul devine o simetrie centrală (C); adică, va exista o rotație în jurul valorii de C, la un unghi de 180 °^sau.

- Dacă k> 1, mărimea figurii transformate va fi mai mare decât dimensiunea originalului.

- Dacă 0 <k <1, mărimea figurii transformate va fi mai mică decât cea a originalului.

- Dacă -1 <k <0, mărimea figurii transformate va fi mai mică și rotită în raport cu originalul.

- Dacă k <-1, dimensiunea figurii transformate va fi mai mare și va fi rotită în raport cu originalul.

tip

Homotetul poate fi, de asemenea, clasificat în două tipuri, în funcție de valoarea raportului său (k):

Homothety directă

Se întâmplă dacă constanta k> 0; adică punctele homotetice sunt pe aceeași parte în raport cu centrul:

Factorul de proporționalitate sau raportul de similitudine între cifrele directe homotetice va fi întotdeauna pozitiv.

Reverse homothetic

Se întâmplă dacă constanta k <0; adică punctele inițiale și cele homotetice sunt situate în capetele opuse în raport cu centrul homotetei, dar aliniate la ea. Centrul se va afla între cele două figuri:

Factorul de proporționalitate sau raportul de similaritate între cifrele inverse homotetice va fi întotdeauna negativ.

compoziție

Atunci când mai multe mișcări sunt efectuate succesiv până la obținerea unei cifre egale cu originalul, apare o compoziție de mișcări. Compoziția mai multor mișcări este, de asemenea, o mișcare.

Compoziția dintre două homoteciuri are ca rezultat o nouă homotecie; adică, avem un produs homotetic în care centrul va fi aliniat la centrul celor două transformări inițiale, iar raportul (k) este produsul celor două motive.

Astfel, în compoziția a două Homotheces H₁(O₁, k₁) și H₂(O₂, k₂), înmulțind motivele: k₁ x k₂ = 1 va rezulta într-o homothety de raport k₃ = k₁ x k₂. Centrul acestei noi homotete (O₃) va fi situat pe O drept₁ O₂.

Homotetul corespunde unei schimbări plane și ireversibile; dacă se aplică două homotheces care au același centru și raport, dar cu un semn diferit, cifra originală va fi obținută.

Exemple

Primul exemplu

Aplicați o homothety la poligonul centru (O) dat, situat la 5 cm de punctul A și al cărui raport este k = 0,7.

soluție

Orice punct este ales ca centru al homotetei și din această rază sunt desenate de vârfurile figurii:

Distanța dintre centrul (O) și punctul A este OA = 5; cu aceasta poți determina distanța unuia dintre punctele homotetice (OA ') știind de asemenea că k = 0,7:

OA '= k x OA.

OA '= 0,7 x 5 = 3,5.

Procesul se poate face pentru fiecare vârf sau puteți desena și poligonul homotetic, amintindu-vă că cele două poligoane au laturi paralele:

În cele din urmă, transformarea arată astfel:

Al doilea exemplu

Aplicați o homothety la poligonul centru (O) dat, situat la 8,5 cm de punctul C și al cărui raport y este k = -2.

soluție

Distanța dintre centrul (O) și punctul C este OC = 8,5; cu aceste date este posibil să se determine distanța unuia dintre punctele homotetice (OC '), știind de asemenea că k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8,5 = -17

După ce trasăm segmentele vârfurilor poligonului transformat, avem punctele inițiale și homotecii lor situați în capetele opuse față de centru:

referințe

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Desen tehnic: notebook de activitate.
2. Antonio Alvarez de la Rosa, J. L. (2002). Afinitate, omologie și homothety.
3. Baer, ​​R. (2012). Algebra liniară și geometria proiectivă. Curierul Corporației.
4. Hebert, Y. (1980). Matematică generală, probabilități și statistici.
5. Meserve, B.E. (2014). Concepte fundamentale ale geometriei. Curierul Corporației.
6. Nachbin, L. (1980). Introducere în algebră. Reverte.