Ecuații polinomiale (cu exerciții rezolvate)

ecuații polinomiale sunt o afirmație care ridică egalitatea a două expresii sau membri, în care cel puțin unul dintre termenii care compun fiecare parte a egalității sunt polinomii P (x). Aceste ecuații sunt numite în funcție de gradul variabilelor lor.

În general, o ecuație este o afirmație care stabilește egalitatea a două expresii, unde în cel puțin una dintre acestea există cantități necunoscute, numite variabile sau necunoscute. Deși există mai multe tipuri de ecuații, acestea sunt în general clasificate în două tipuri: algebrice și transcendentale.

Ecuațiile polinomiale conțin numai expresii algebrice, care pot avea una sau mai multe necunoscute implicate în ecuație. Conform exponentul (grade) acestea au pot fi clasificate în gradul I (liniar), de gradul doi (pătratic), al treilea grad (cub), clasa a patra (quartic) mai mare sau egal cu cinci și gradul irațional.

index

• 1 Caracteristici
• 2 tipuri
  • 2.1 Clasa întâi
  • 2.2 gradul II
  • 2.3 Rezolvarea
  • 2.4 Clasa superioară
• 3 Exerciții rezolvate
  • 3.1 Primul exercițiu
  • 3.2 Al doilea exercițiu
• 4 Referințe

caracteristici

Ecuațiile polinomiale sunt expresii care se formează printr-o egalitate între două polinoame; adică prin sume finite de înmulțiri între valori sunt necunoscute (variabile) fixe și numere (coeficienți), în cazul în care variabilele pot avea exponenți, iar valoarea sa poate fi un număr întreg pozitiv, inclusiv zero.

Exponenții determină gradul sau tipul de ecuație. Acest termen al expresiei care are exponentul cel mai mare valoare va reprezenta gradul absolut al polinomului.

Ecuațiile polinomiale sunt de asemenea cunoscute ca algebrice, coeficienții lor pot fi numere reale sau complexe, iar variabilele sunt numere necunoscute reprezentate de o literă, cum ar fi "x".

Dacă înlocuiți o valoare pentru variabila „x“ în P (x), rezultatul este zero (0), atunci se spune că această valoare satisface ecuația (este o soluție), și este de obicei numit rădăcină al polinomului.

Atunci când se dezvoltă o ecuație polinomială, vrem să găsim toate rădăcinile sau soluțiile.

tip

Există mai multe tipuri de ecuații polinomiale, care sunt diferențiate în funcție de numărul de variabile și de gradul lor de exponent.

Astfel, ecuațiile polinomiale - în care primul termen este un polinom cu un singur necunoscut, având în vedere că gradul său poate fi orice număr natural (n) și al doilea termen este zero -, poate fi exprimat după cum urmează:

la_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 + ... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

în cazul în care:

- a_n, la_n-1 și a₀, ele sunt coeficienți reali (numere).

- a_n Este diferit de zero.

- Exponentul n este un întreg pozitiv care reprezintă gradul ecuației.

- x este variabila sau necunoscută care trebuie căutată.

Gradul absolut sau mai mare al unei ecuații polinomiale este reprezentantul unei valori mai mari în rândul tuturor celor care formează polinomul; în acest fel, ecuațiile sunt clasificate ca:

Clasa întâi

ecuații polinomiale de gradul I, de asemenea, cunoscut sub numele de ecuații liniare, sunt acelea în care gradul (cel mai mare exponent) este egal cu 1, polinomul este de forma P (x) = 0; și este compus dintr-un termen liniar și un termen independent. Este scrisă după cum urmează:

ax + b = 0.

în cazul în care:

- a și b sunt numere reale și ≠ 0.

- axa este termenul liniar.

- b este termenul independent.

De exemplu, ecuația 13x - 18 = 4x.

Pentru a rezolva ecuațiile liniare, toți termenii care conțin x necunoscut trebuie să fie trecuți într-o parte a egalității, iar cei care nu au fost mutați în cealaltă parte, pentru a-l șterge și pentru a obține o soluție:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2

În acest fel, ecuația dată are o singură soluție sau rădăcină, care este x = 2.

Clasa a II-a

ecuații polinomiale de gradul doi, de asemenea, cunoscut sub numele de ecuațiile pătratice, sunt acelea în care gradul (cel mai mare exponent) este egal cu 2, polinomul este de forma P (x) = 0, și este compus dintr-un termen pătratic , una liniară și una independentă. Se exprimă după cum urmează:

topor² + bx + c = 0

în cazul în care:

- a, b și c sunt numere reale și a ≠ 0.

- ax² este termenul quadratic și "a" este coeficientul termenului quadratic.

- bx este termenul liniar, iar "b" este coeficientul termenului liniar.

- c este termenul independent.

resolvente

În general, soluția la acest tip de ecuații este dată de compensarea x din ecuație și este lăsată în felul următor, care se numește resolver:

Acolo, (b² - 4ac) se numește discriminant al ecuației și această expresie determină numărul de soluții pe care ecuația le poate avea:

- Da (b² - 4ac) = 0, ecuația va avea o singură soluție care este dublă; adică veți avea două soluții egale.

- Da (b² - 4ac)> 0, ecuația va avea două soluții reale diferite.

- Da (b² - 4ac) <0, ecuația nu are nici o soluție (va avea două soluții complexe diferite).

De exemplu, aveți ecuația 4x² + 10x - 6 = 0, pentru a rezolva aceasta, identificați mai întâi termenii a, b și c, apoi înlocuiți-o cu formula:

a = 4

b = 10

c = -6.

Există cazuri în care ecuațiile polinomiale ale celui de-al doilea grad nu au cei trei termeni și de aceea sunt rezolvați în mod diferit:

- În cazul în care ecuațiile patratice nu au termenul liniar (adică b = 0), ecuația va fi exprimată ca ax² + c = 0. Pentru ao rezolva, este șters x² iar rădăcinile pătrate sunt aplicate în fiecare membru, amintindu-se că cele două posibile semne pe care le poate avea necunoscutul trebuie să fie luate în considerare:

topor² + c = 0

x² = - c ÷ a

De exemplu, 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

x² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x₁ = 2.

x₂ = -2.

- Atunci când ecuația patratică nu are un termen independent (adică c = 0), ecuația va fi exprimată ca ax² + bx = 0. Pentru a rezolva aceasta, trebuie să extragem factorul comun al necunoscutului x în primul membru; deoarece ecuația este egală cu zero, este adevărat că cel puțin unul dintre factori va fi egal cu 0:

topor² + bx = 0

x (ax + b) = 0.

În acest fel, trebuie să:

x = 0

x = -b ÷ a.

De exemplu: aveți ecuația 5x² + 30x = 0. Primul factor:

5x² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Se generează doi factori care sunt x și (5x + 30). Se consideră că una dintre acestea va fi egală cu zero, iar cealaltă soluție va fi dată:

x₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x₂ = -6.

Calitate superioară

Ecuațiile polinomiale de grad mai mare sunt acelea care merg de la gradul al treilea încoace, care pot fi exprimate sau rezolvate prin ecuația generală polinomială pentru orice grad:

la_{n *} xⁿ + a_{n-1 *} x^n-1 + ... + a_{1 *} x¹ + a_{0 *} x₀ = 0

Acest lucru este folosit deoarece o ecuație cu un grad mai mare de două este rezultatul factorizării unui polinom; adică se exprimă ca multiplicarea polinomilor de gradul unu sau mai mare, dar fără rădăcini reale.

Soluția acestui tip de ecuații este directă, deoarece multiplicarea a doi factori va fi egală cu zero dacă oricare dintre factori este nulă (0); prin urmare, fiecare dintre ecuațiile polinomiale găsite trebuie rezolvată, egalizând fiecare dintre factorii săi la zero.

De exemplu, aveți ecuația de gradul 3 (cub) x³ + x² + 4x + 4 = 0. Pentru a rezolva aceasta, trebuie urmate următorii pași:

- Termenii sunt grupați:

x³ + x² + 4x + 4 = 0

(x³ + x² ) + (4x + 4) = 0.

- Membrii sunt defalcați pentru a obține factorul comun al necunoscutului:

x² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x² + 4)_*(x + 1) = 0.

- În acest fel, se obțin doi factori, care trebuie să fie egali cu zero:

(x² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Se poate observa că factorul (x² + 4) = 0 nu va avea o soluție reală, în timp ce factorul (x + 1) = 0 da. Prin urmare, soluția este:

(x + 1) = 0

x = -1

Exerciții rezolvate

Rezolvați următoarele ecuații:

Primul exercițiu

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

soluție

În acest caz, ecuația este exprimată ca multiplicarea polinomilor; adică este luat în considerare. Pentru a rezolva aceasta, fiecare factor trebuie să fie egal cu zero:

- 2x² + 5 = 0, nu are nici o soluție.

- x - 3 = 0

- x = 3

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Astfel, ecuația dată are două soluții: x = 3 și x = -1.

Al doilea exercițiu

x⁴ - 36 = 0.

soluție

A fost dat un polinom, care poate fi rescris ca o diferență de pătrate pentru a ajunge la o soluție mai rapidă. Astfel, ecuația rămâne:

(x² + 6)_*(x² - 6) = 0.

Pentru a găsi soluția ecuațiilor, ambii factori sunt egali cu zero:

(x² + 6) = 0, nu are nici o soluție.

(x² - 6) = 0

x² = 6

x = ± √6.

Astfel, ecuația inițială are două soluții:

x = √6.

x = - √6.

referințe

1. Andres, T. (2010). Olimpiada matematică Tresure. Springer. New York
2. Angel, A. R. (2007). Algebra elementară Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Algebra liniară și geometria proiectivă. Curierul Corporației.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Cultură.
5. Castaño, H. F. (2005). Matematică înainte de calcul. Universitatea din Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Manual de matematică pentru pregătirea olimpică. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, M. L. (1984). Algebra superioară I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Matematică 3.