3 Sisteme de ecuații liniare și modul de rezolvare a acestora

ecuații liniare ele sunt ecuații polinomiale cu una sau mai multe necunoscute. În acest caz, necunoscutele nu sunt ridicate la puteri, nici nu se înmulțesc între ele (în acest caz se spune că ecuația este de gradul 1 sau de gradul I).

O ecuație este o egalitate matematică în care există unul sau mai multe elemente necunoscute pe care le vom numi necunoscute sau necunoscute în cazul în care există mai multe. Pentru a rezolva această ecuație este necesar să aflăm valoarea celor necunoscute.

O ecuație liniară are următoarea structură:

la₀· 1 + a₁· X₁+ a₂· X₂+ ... + a_n· X_n= b

Unde să₀, a₁, a₂, ..., a_n sunt numere reale din care le cunoaștem valoarea și suntem numiți coeficienți, b este de asemenea un număr real cunoscut care se numește termen independent. Și în sfârșit sunt X₁, X_2,..., X_n care sunt ceea ce sunt cunoscute ca necunoscute. Acestea sunt variabilele a căror valoare este necunoscută.

Un sistem de ecuații liniare este un set de ecuații liniare în care valoarea celor necunoscute este aceeași în fiecare ecuație.

În mod logic, modul de rezolvare a unui sistem de ecuații liniare este atribuirea unor valori necunoscutelor, astfel încât egalitatea să poată fi verificată. Adică necunoscutele trebuie să fie calculate astfel încât toate ecuațiile din sistem să fie îndeplinite simultan. Reprezentăm un sistem de ecuații liniare după cum urmează

la₀· 1 + a₁· X₁ + a₂· X₂ + ... + a_n· X_n = a_{n + 1}

b₀· 1 + b₁· X₁ + b₂· X₂ + ... + b_n· X_n = b_{n + 1}

c₀· 1 + c₁· X₁ + c₂· X₂ + ... + c_n· X_n = c_{n + 1}

… .

d₀· 1 + d₁· X₁ + d₂· X₂ + ... + d_n· X_n = d_{n + 1}

 unde a_0, la₁, ..., a_nb₀b₁, ..., b_n , c₀ , c₁, ..., c_n etc noi numere reale și necunoscute pentru a rezolva sunt X₀, ..., X_n , X_{n + 1}.

Fiecare ecuație liniară reprezintă o linie și, prin urmare, un sistem de ecuații de ecuații lineare N reprezintă N linii desenate în spațiu.

În funcție de numărul de necunoscute pe care le are fiecare ecuație liniară, linia care reprezintă ecuația respectivă va fi reprezentată într-o dimensiune diferită, adică o ecuație cu două necunoscute (de exemplu, 2 · X₁ + X₂ = 0) reprezintă o linie într-un spațiu bidimensional, o ecuație cu trei necunoscute (de exemplu 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) ar fi reprezentate într-un spațiu tridimensional și așa mai departe.

La rezolvarea unui sistem de ecuații, valorile lui X₀, ..., X_n , X_{n + 1} acestea se întâmplă să fie punctele de tăiere dintre linii.

Prin rezolvarea unui sistem de ecuații putem ajunge la concluzii diferite. În funcție de tipul de rezultat obținut, putem distinge între 3 tipuri de sisteme de ecuații liniare:

1- Compatibilitate nedeterminată

Deși pare o glumă, este posibil ca atunci când încercăm să rezolvăm sistemul de ecuații, vom ajunge la un stil evident 0 = 0.

Acest tip de situație apare atunci când există soluții infinite pentru sistemul de ecuații și acest lucru se întâmplă când se dovedește că în sistemul nostru de ecuații ecuațiile reprezintă aceeași linie. Putem vedea grafic:

Ca sistem de ecuații luăm:

Prin faptul că avem 2 ecuații cu 2 necunoscute pentru a rezolva, putem reprezenta liniile într-un plan bidimensional

După cum putem vedea liniile cu ea, deci toate punctele primei ecuații coincid cu cele ale celei de a doua ecuații, prin urmare, are cât mai multe puncte de tăiere ca punctele pe care linia le are, adică infinitățile.

2 - Incompatibil

Prin citirea numelui ne putem imagina că următorul nostru sistem de ecuații nu va avea o soluție.

Dacă încercăm să rezolvăm, de exemplu, acest sistem de ecuații

Din punct de vedere grafic, ar fi:

Dacă multiplicăm toți termenii celei de-a doua ecuații, obținem că X + Y = 1 este egal cu 2 · X + 2 · Y = 2. Și dacă această ultimă expresie este scăzută din prima ecuație, obținem

2 · X-2 · X + 2 · Y2 · Y = 3-2

Sau ce este același lucru

0 = 1

Când suntem în această situație, înseamnă că liniile care sunt reprezentate în sistemul de ecuații sunt paralele, ceea ce înseamnă că prin definiție acestea nu sunt niciodată tăiate și nu există nici un punct de tăiere. Atunci când un sistem este prezentat în acest mod, se spune că este inconsecvent independent.

3- Suport stabilit

În cele din urmă ajungem la cazul în care sistemul nostru de ecuații are o singură soluție, cazul în care avem linii care intersectează și generează un punct de intersecție. Să vedem un exemplu:

Pentru ao rezolva, putem adăuga cele două ecuații, astfel încât să le obținem

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Dacă simplificăm că am plecat

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

Din care deducem cu ușurință că X = 2 și înlocuind sau X = 2 în oricare dintre ecuațiile originale obținem Y = 3.

Din punct de vedere vizual ar fi:

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare

Așa cum am văzut în secțiunea anterioară, pentru sisteme cu 2 necunoscute și 2 ecuații, bazate pe operații simple cum ar fi adunarea, scăderea, multiplicarea, diviziunea și substituția, le putem rezolva în câteva minute.Dar dacă încercăm să aplicăm această metodologie sistemelor cu mai multe ecuații și mai multe necunoscute, calculele devin plictisitoare și putem greși cu ușurință.

Pentru a simplifica calculele, există diferite metode de rezoluție, dar, fără îndoială, metodele cele mai răspândite sunt regula Cramer si Gauss-Jordan Eliminare.

Metoda Cramer

Pentru a explica modul în care se aplică această metodă este esențial să se știe ce matricea și de a găsi know factor determinant, fac o paranteză pentru a defini aceste două concepte.

o matrice nu este altceva decât un set de numere sau simboluri algebrice plasate în linii orizontale și verticale și dispuse sub forma unui dreptunghi. Pentru tema noastră vom folosi matricea ca o modalitate mai simplificată de a exprima sistemul nostru de ecuații.

Să vedem un exemplu:

Va fi sistemul de ecuații liniare

Acest sistem simplu de ecuații pe care îl putem rezuma este funcționarea a două matrice 2 × 2 care rezultă într-o matrice de 2 × 1.

Prima matrice corespunde coeficienților, a doua matrice sunt necunoscutele care trebuie rezolvate și matricea situată după egalitate este identificat cu termenii independenți ai ecuațiile

determinant este o operație care se aplică unei matrice a cărei rezultat este un număr real.

În cazul matricei pe care am găsit-o în exemplul nostru anterior, determinantul său ar fi:

Odată ce noțiunile de matrice și determinant au fost definite, putem explica ce constă din metoda Cramer.

Prin această metodă, putem rezolva cu ușurință un sistem de ecuații liniare, atâta timp cât sistemul nu depășește trei ecuații cu trei necunoscute, deoarece calculul determinanților unei matrici este foarte dificil pentru matrici 4 × 4 sau mai mare. În cazul unui sistem cu mai mult de trei ecuații liniare, se recomandă metoda de eliminare Gauss-Jordan.

Continuând cu exemplul anterior, prin intermediul lui Cramer trebuie pur și simplu să calculam doi determinanți și, împreună cu el, vom găsi valoarea celor două necunoscute.

Avem sistemul nostru:

Și avem un sistem reprezentat de matrice:

Valoarea lui X se găsește:

Doar în calculul determinantului situat în numitorul diviziunii am înlocuit prima comună pentru matricea termenilor independenți. Și în numitorul diviziunii avem determinantul matricei noastre originale.

Efectuând aceleași calcule pentru a găsi Y obținem:

Eliminarea lui Gauss-Jordan

Noi definim matrice extinsă la matricea care rezultă dintr-un sistem de ecuații în care adăugăm termenii independenți la sfârșitul matricei.

Dacă vom continua cu exemplul nostru

Matricea noastră extinsă ar fi:

Metoda de eliminare Gauss-Jordan este prin operațiuni între rânduri de matricea transforma matricea noastra sa extins într-o matrice mult mai simplu în cazul în care am zerouri în toate domeniile, cu excepția diagonală, în cazul în care ar trebui să obțină. După cum urmează:

Unde X și Y ar fi numere reale care corespund necunoscutelor noastre.

Să rezolvăm acest sistem prin eliminarea lui Gauss-Jordan:

înmulțiți primul rând cu 2 și al doilea rând cu 3

Dacă scădem primul rând din primul rând, obținem

Am reușit deja să obținem un zero în partea stângă jos a matricei noastre, următorul pas este să obțineți un 0 în partea dreaptă sus a acestuia.

Am împărțit primul rând între 2 și al doilea rând între 10 pentru a simplifica numerele a multiplicat al doilea rând cu 2

M-am alăturat al doilea rând al doilea

Am realizat un 0 în partea din stânga sus a matricei, acum trebuie doar pentru a converti cele diagonale și am rezolvat sistemul Gauss-Jordan.

Am împărțit primul rând cu 3 și al doilea împărțit cu 4

Prin urmare, ajungem la concluzia că:

referințe

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Sisteme de ecuații liniare (fără dată). Recuperat de la uco.es.
4. Sisteme de ecuații liniare. Capitolul 7. (nedatat). Adus de la sauce.pntic.mec.es.
5. Algebra liniară și geometrie (2010/2011). Sisteme de ecuații liniare. Capitolul 1. Departamentul de Algebră. Universitatea din Sevilla. Spania. Recuperat de la algebra.us.es.